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| Aufgabe | | Eine Münze wird dreimal geworfen, wobei "Zahl" mit Wahrscheinlichkeit p und "Kopf" mit Wahrscheinlichkeit 1 - p erscheint (Bernoulli-Schema). Betrachte die Ereignisse A = {höchstens einmal Kopf} und B = {alle drei Würfe sind gleich}. Für welche Werte von p [0; 1] sind A und B unabhängig? |
Liebe User,
kaum hab ich ein gutes Gefühl bei der Klausurvorbereitung, schon habe ich wieder eine Aufgabe gefunden, die ich nicht verstehe.
Die obige steht auf einem meiner Uebungsblätter und ich muss zu meiner Schande gestehen, dass ich absolut nicht verstehe was hier gefragt ist, oder gar wie man hier vorgehen muss.
BITTE helft mir, diese Aufgabe bis zum Montag zu lösen. Es ist nicht mehr lange, bis zur Klausur.
Beste Gruesse,
Denis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 So 05.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
bevor ich deine Frage zu beantworten versuche, muss ich zugeben, dass ich kein großer Freund der Stochastik bin; dennoch denke ich, dass ich dir hier weiterhelfen kann. Genau aus diesem Grund - eben weil ich es mir auch besonders schwer mache in diesem Gebiet -, will ich versuchen, dir den Lösungsweg aufzuzeigen, in der Hoffnung, dass es auch mir hilft 
Und wenn es uns beiden hilft, umso besser. Lange Rede, kurzer Sinn 
Erst einmal machen wir uns den Sachverhalt klar:
1) Wir werfen eine Münze 3 Mal.
2) Wahrscheinlichkeit dafür, Zahl zu werfen: [mm] \IP("\text{Zahl"})=p
[/mm]
3) Wahrscheinlichkeit dafür, Kopf zu werfen: [mm] \IP("Kopf")=1-p
[/mm]
Jetzt haben wir zwei Ereignisse:
[mm] A:=\{\text{höchstens einmal Kopf}\} [/mm] & [mm] B:=\{\text{alle drei Würfe sind gleich}\}
[/mm]
Soweit ist es noch klar? Wir haben ja nur die Infos noch einmal zusammengetragen.
Jetzt kommt erst die eigentliche Frage:
[mm] \red{\text{Für welche Werte von } p\in[0; 1] \text{ sind A und B unabhängig? }}
[/mm]
Welches Kriterium kennst du für stochastische Unabhängigkeit?
Richtig! Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn
[mm] \blue{\IP(A\cap{B})=\IP(A)*\IP(B)}
[/mm]
Betrachten wir doch einfach mal die linke und rechte Seite der Gleichung separat.
i) [mm] \IP(A\cap{B})
[/mm]
Halten wir uns noch einmal die Eregnisse vor Augen:
$ [mm] A:=\{\text{höchstens einmal Kopf}\} [/mm] $ & $ [mm] B:=\{\text{alle drei Würfe sind gleich}\} [/mm] $
[mm] A:=\{\text{höchstens einmal Kopf}\}=\{\text{kein Kopf oder einmal Kopf}\}
[/mm]
Das heißt doch (machen wir es einmal ausführlich):
[mm] \IP(A\cap{B})=\IP(\text{höchstens einmal Kopf}\cap{\text{alle drei Würfe sind gleich}\})=\IP(\text{kein Kopf oder einmal Kopf}\cap{\text{alle drei Würfe sind gleich}\})=\IP(\text{3 mal Zahl})
[/mm]
Ist dir das letzte Gleichheitszeichen klar? Ich denke schon, wenn du dir bewusst machst, dass würde einmal Kopf fallen, Eregnis B nicht mehr eintreten kann, weil sonst Ereignis A (höchstens einmal Kopf) verletzt wird. Deswegen bleibt im Schnitt nur 3 Mal Zahl.
[mm] \IP(\text{3 mal Zahl}) [/mm] können wir doch einfach bestimmen:
[mm] \IP(\text{3 mal Zahl})=p*p*p=p^3
[/mm]
ii) Betrachten wir nun: [mm] \IP(A)*\IP(B)
[/mm]
1. [mm] \IP(A)=\IP(\{\text{höchstens einmal Kopf}\})=\IP(\{\text{kein Kopf oder einmal Kopf}\})=\IP(\{\text{kein Kopf}\})+\IP(\{\text{einmal Kopf}\})
[/mm]
[mm] =\IP(\{\text{3 Mal Zahl}\})+\IP(\{\text{einmal Kopf und 2 Mal Zahl}\})=p*p*p+(1-p)*p*p=p^3+(1-p)*p^2=p^3+p^2-p^3=p^2
[/mm]
Mir fällt jetzt auf, dass ich folgendes nicht bedacht habe:
Einmal Kopf und 2 Mal Zahl ist in folgenden Kombinationen möglich:
KZZ
ZKZ
ZZK
Ich jedoch habe nur einen Fall betrachtet, nämlich KZZ. Bin mir jetzt nicht sicher, ob ich die Wkt. [mm] \IP(\{\text{einmal Kopf und 2 Mal Zahl}\})=(1-p)*p*p [/mm] mit 3 hätte multiplizieren müssen. Dies hätte natürlich Auswirkungen auf das Ergebnis.
Belassen wir es voerst einmal so.
2. Betrachten wir nun [mm] \IP(B):
[/mm]
[mm] \IP(\{\text{alle drei Würfe sind gleich}\})=\IP(\text{3 Mal Zahl oder 3 Mal Kopf})=\IP(\text{3 Mal Zahl})+\IP(\text{3 Mal Kopf})=p^3+(1-p)*(1-p)*(1-p)=1-p+3p^2
[/mm]
Jetzt dürfen wir nicht vergessen, warum wir das alles gemacht haben.
Wir wollten zeigen, für welche [mm] p\in[0;1] [/mm] gilt
[mm] \blue{\IP(A\cap{B})=\IP(A)*\IP(B)}
[/mm]
Wir wissen jetzt: [mm] \blue{\IP(A\cap{B})}=p^3
[/mm]
[mm] \blue{\IP(A)*\IP(B)}=p^2*(1-p+3p^2)
[/mm]
Und jetzt ist folgende Gleichung zu lösen.
[mm] p^3=p^2*(1-p+3p^2)
[/mm]
Hier stellst du um [mm] 0=\ldots [/mm] und vereinfachst. Es kommen natürlich nur p mit der Eigenschaft [mm] p\in[0;1] [/mm] in Frage.
Und bedenke, dass ich mich an der einen Stelle (siehe unterstrichenen Teil) geiirt haben kann. Das ist mir allerdings erst jetzt - am Ende aufgefallen - und das jetzt noch alles zu ändern, war mir doch etwas zu anstrengend. Aber in erster Linie soll dir der Artikel auch nur aufzeigen, was eigentlich gefragt war - denn das schien ja dein eigentliches Problem zu sein.
In diesem Sinne hoffe ich, dass ich dir weiterhelfen konnte.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 So 05.10.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Wow - Du bist einfach ein Grossmeister - ach was rede ich da - ein MAGISTER !!!
Ja ich habe ALLES verstanden. ALLES, denn wann immer ein Gedankenschritt war, hast Du ihn mir zuvor verständlich gemacht. DANKE !!!
PS: Ich glaube wenn einmal Kopf gefragt ist, dann ist es glaub ich Binomialverteilung, und Du hast Recht mit der Aussage man müsse es mit [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] multiplizieren . Aber ob man dass hier machen muss weiss ich auch nicht so genau.
PPS: Ich kann Dir nur eins raten : Werde Tutor an der Uni oder FH. Du kannst so intilligent erklären, dass es einfach schade wäre, wenn viele, denen es so geht, wie mir auf Dich verzichten
Nochmals VIELEN VIELEN LIEBEN DANK und Beste Gruesse
Denis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:09 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dem kann man nicht viel hinzufügen, außer dass die 3 da richtig wäre :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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