bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo, habe Probleme folgendes zu beweisen:
V sei K Vektorraum, U Unterraum von V
p eine symmetrische Bilinearform
Ich muss nun zeigen dass {v [mm] \in [/mm] V mit p(v,u) = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U } Unterraum von V ist.
WIe geh ich da ran? muss noch ne ganze Reihe äühnlicher Sachen zeigen :(
mfg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
sorry ich wollte noch meine mickrige idee posten.
reicht schon: 1. [mm] p(v_1 [/mm] + [mm] v_2,u) [/mm] = [mm] p(v_1,u) [/mm] + [mm] p(v_2, [/mm] u) = 0 + 0 = 0 ?
und 2. [mm] p(\lambda [/mm] * [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2), [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] p(v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] , u) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] p(v_1, [/mm] u) + [mm] \lambda [/mm] * [mm] p(v_2 [/mm] ,u) = 0 + 0 = 0 ?
sorry wenn das jetzt totaler mist ist
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Hallo Thomas,
deine (Zitat:) "mickrige" Idee ist doch schon ganz gut, wenn auch ziemlich merkwürdig aufgeschrieben 
zu zeigen sind doch die 3 Unterraumkriterien:
(Ich nenne mal die Menge [mm] $\{v\in V|p(v,u)=0\forall u\in U\}=:M$)
[/mm]
(1) [mm] $M\neq\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $0\in [/mm] M$
(2) [mm] $\forall v_1,v_2\in M:v_1+v_2\in [/mm] M$
(3) [mm] $\forall v\in V,\lambda\in\IK:\lambda v\in [/mm] M$
Nun (2) hast du gezeigt, wenn auch nicht so schön aufgeschrieben
(3) hast du auch "gezeigt", ich würde es aber deutlicher im Beweissinne aufschreiben:
etwa so:
Seien [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] und [mm] $v\in [/mm] M$
[mm] $v\in M\Rightarrow p(v,u)=0\Rightarrow \lambda p(v,u)=\lambda\cdot{}0\Rightarrow \lambda p(v,u)=0\Rightarrow p(\lambda\cdot{}v,u)=0$ [/mm] da p BLF ist [mm] $\Rightarrow \lambda v\in [/mm] M$
Und das [mm] $\forall u\in [/mm] U$
Schreibe mal (2) noch sauberer auf und zeige noch (1) dann biste schon fertig
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 08.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ok danke
soweit alles klar, aber unter denselben vorraussetzungen muss ich nun noch zeigen:
1. Rang(p) = n - dim( {v [mm] \in [/mm] V mit p(v,u) = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U } )
2. dim( {v [mm] \in [/mm] V mit p(v,u) = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U } ) >= dim(U
ok, ich komm nicht einen schritt vorwärts. was ist der rang einer bilinearform?? und wieso steht bei 1. links rang und nicht dim? ist das nicht dasselbe?
bitte um hülfe :)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 08.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ich weiß solche posts sind nervig ;)
aber leider ist das ziemlich eilig und wenn irgendjemand einen tipp hat wäre ich im seeeeeehr dankbar :D
mfg thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Thomas!
> ok danke
> soweit alles klar, aber unter denselben vorraussetzungen
> muss ich nun noch zeigen:
>
> 1. Rang(p) = n - dim( {v [mm]\in[/mm] V mit p(v,u) = 0 [mm]\forall[/mm] u
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } )
> 2. dim( {v [mm]\in[/mm] V mit p(v,u) = 0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } ) >=
> dim(U
>
> ok, ich komm nicht einen schritt vorwärts. was ist der rang
> einer bilinearform??
Was der Rang ist weiss ich nicht; vielleicht der Rang einer Darstellungsmatrix von $p$ bezueglich irgendeiner Basis?
> und wieso steht bei 1. links rang und
> nicht dim? ist das nicht dasselbe?
Was sollte denn die Dimension einer Bilinearform sein? Das macht genausowenig bzw. noch weniger Sinn...
Bei der 1. kann ich dir nicht helfen, und zu der zweiten kann ich nur sagen, dass die Aussage falsch ist. Und sie bleibt falsch, wenn man $\ge$ durch $\le$ ersetzt: nehme als $p$ das Standardskalarprodukt von $\IR^n$ und als $U$ einmal $\{ 0 \}$ und einmal $\IR^n$ selber. (In diesem Fall ist $\{ v \in \IR^n \mid p(v, u) = 0 \text{ für alle } u \in U \}$ gerade das orthogonale Komplement von $U$.)
Und die 1. Aussage glaube ich auch nicht ganz: auf der linken Seite steht etwas, was unabhaengig von $U$ ist (oder etwa nicht?), waehrend auf der rechten Seite ein Ausdruck abhaengig von $U$ steht. Wenn man hier wieder fuer $p$ das Standardskalarprodukt von $\IR^n$ waehlt und $U$ verschiedendimensionale Unterraeume nimmt, kommt rechts immer etwas verschiedenes heraus, links steht aber immer das selbe -- das geht nicht!
Kannst du nochmal nachschauen, ob die Aufgabe wirklich genau so lautet?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 08.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
jo, erstmal danke für deine mühe
hier ist der link zum arbeitsblatt, 2. aufgabe:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/mueller/la2blatt5.pdf
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Di 08.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
okich hab zumindest zur 1. ne idee:
Sei B die Basis von V = [mm] (b_1 [/mm] , [mm] b_2, b_3 [/mm] , [mm] b_4 [/mm] , .... [mm] b_n)
[/mm]
Sei A die Darstellungsmatrix der Bilinearform p
A = [mm] \pmat{ < b_1 , b_1 > & ........ & < b_1 , b_n > \\ . & . \\ . & . \\ < b_n , b_1 > & ........ & < b_n , b_n >}
[/mm]
Dann ist der Rang ja die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen/Spalten. Das ist dann n - die Anzahl der Zeilen/Spalten die auf 0 gehen.. ok, aber wie begründet man das gut?
verzweifelte grüße^^
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okich hab zumindest zur 1. ne idee:
> Sei B die Basis von V = [mm](b_1[/mm] , [mm]b_2, b_3[/mm] , [mm]b_4[/mm] , ....
> [mm]b_n)[/mm]
> Sei A die Darstellungsmatrix der Bilinearform p
>
> A = [mm]\pmat{ < b_1 , b_1 > & ........ & < b_1 , b_n > \\ . & . \\ . & . \\ < b_n , b_1 > & ........ & < b_n , b_n >}[/mm]
>
> Dann ist der Rang ja die Anzahl der linear unabhängigen
> Zeilen/Spalten. Das ist dann n - die Anzahl der
> Zeilen/Spalten die auf 0 gehen.. ok, aber wie begründet man
> das gut?
Das ist schon mal ein guter Anfang... Du musst den Rang ein wenig anders interpretieren. Der Rang ist ja gleich $n$ minus der Dimension des Kerns der Abbildung [mm] $K^n \to K^n$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] A v$.
Du musst also zeigen, dass die Dimension des Kernes genau die Dimension von [mm] $V^\bot [/mm] = [mm] \{ v \in V \mid \forall v' \in V : p(v, v') = 0 \}$ [/mm] ist.
Dazu betrachte doch mal die Abbildung $V [mm] \to K^n$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] (p(v, [mm] b_1), \dots, [/mm] p(v, [mm] b_n))$. [/mm] Wenn du sie bezueglich der Basis [mm] $(b_1, \dots, b_n)$ [/mm] von $V$ und der kanonischen Basis von [mm] $K^n$ [/mm] beschreibst, wie sieht sie aus? (Sollte dir bekannt vorkommen.) Und wie sieht der Kern aus? (Den solltest du ebenfalls erkennen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 08.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
vielen dank felix
ich hoffe ich hab alles richtig verstanden
mfg thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
> 2. [mm] $\dim U^\bot \ge [/mm] n - [mm] \dim [/mm] U$
Auch hier kannst du es mit der richtigen Abbildung wieder leicht hinbekommen: sei [mm] $(u_1, \dots, u_k)$ [/mm] eine Basis von $U$. Betrachte [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to K^k$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] (p(v, [mm] u_1), \dots, [/mm] p(v, [mm] u_k))$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\ker \varphi [/mm] = [mm] U^\bot$ [/mm] ist. Nach der Dimensionsformel ist $n = [mm] \dim [/mm] V = [mm] \dim \mathrm{img} \varphi [/mm] + [mm] \dim \ker \varphi [/mm] = [mm] \dim \mathrm{img} \varphi [/mm] + [mm] \dim U^\bot$, [/mm] also [mm] $\dim U^\bot [/mm] = n - [mm] \dim \mathrm{img} \varphi$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch [mm] $\dim \mathrm{img} \varphi$ [/mm] passend abschaetzen (mit der einfachst moeglichen Abschaetzung).
LG Felix
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