bilden partiellen Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 09.02.2006 | | Autor: | warum |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \mapsto \IR,
[/mm]
[mm] f(x)=5+2x+x^2-8y+4y^2
[/mm]
1. bilden Sie die partielle Ableitung
2. Bestimmen Sie Lage, Wert aller lokalen Extrema der Funktion |
Wie sind die Ableitungen zu bilden?
Ansatz: [mm] 4y^2x^2+2x-8y+5
[/mm]
grad f [mm] 4y^2x^2=8x
[/mm]
[mm] 4y^2x^2=8y
[/mm]
[mm] \vektor{8x\\ 8y}=\vektor{ \bruch{ \partial f}{ \partial x} \\ \bruch{ \partial f}{ \partial y}}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
nun weiss ich nicht mehr weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die partiellen Ableitungen verstehe ich bei dir nicht. Die erste Ableitung dieser Funktion ist gerade der Gradient und der ist ein Vektor. Für die Extrema brauchst du aber auch noch die zweite Ableitung und das wird dann eine Matrix.
Der Gradient hat also die Form
[mm] grad(f)=\vektor{ \partial_{x}f \\ \partial_{y}f}.
[/mm]
Man leitet also erst nach x ab und dann nach y. Das sind die beiden Einträge im Vektor!
Das hieße für deine Funktion
[mm] grad(f)=\vektor{ 2x+2 \\ 8y-8 }
[/mm]
Die zweite Ableitung ist dann eine 2x2-Matrix und du erhälst sie, indem du die Einträge im Gradienten wieder ein Mal nach x und ein Mal nach y ableitest! Das wäre dann:
[mm] H_{f}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 8 }.
[/mm]
Nennt man auch Hesse-Matrix. Für die Extrema nun [mm] grad(f)=(0,0)^{T} [/mm] betrachten und die erhaltenen Werte in [mm] H_{f} [/mm] einsetzen. Das ist aber trivial, weil die zweite Ableitung nicht mehr von x oder y abhängt. Schließlich die Definitheit der Matrix untersuchen und auf Extrema schließen.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 09.02.2006 | | Autor: | warum |
| Aufgabe | | bilde die Ableitungen und ermittle die Extrema! |
Hallo Daniel,
ich habe mir eben auch erschlossen, wie ich die Ableitungen zu bilden habe:
[mm] \partialX [/mm] 2x+2
[mm] \partialy [/mm] 8y-8 , in meiner Formelsammlung steht nun 1. Ableitungen =(0,0), in Bezug auf die Notwendige Bedinung.
Heisst das, dass ich die 1. Ableitung null setzen soll? Wiederum steht hier dann auch bei der Hinreichenden Bedingung , das ich die 1. Ableitung =(0,0) gelten soll. Danach soll ich die 2. Abl. bilden und schauen ob gr. o. kl. Null, das soll dann ein indiz für Min. o. Max. sein?
Ich weiss im Moment auch nicht wie ich zu der geg. Fkt. folgende Berechnung durchführen soll:
[mm] \bruch{ \partial^2f}{\partial^2x} \* \bruch{ \partial^2f}{\partial^2y} [/mm] bis dahin würde ja nun folgendes stehen: 2x8, weiter mit - ( [mm] \bruch{\partial^2f}{\partialx\partialy})^2. [/mm] Was schreibe ich in meine Klammer: ?
Es existiert doch keine gem. Ableitung.
Vielen Dank für die Geduld.
LG Claudia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 09.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\partialX[/mm] 2x+2
> [mm]\partialy[/mm] 8y-8 , in meiner Formelsammlung steht nun 1.
> Ableitungen =(0,0), in Bezug auf die Notwendige Bedinung.
> Heisst das, dass ich die 1. Ableitung null setzen soll?
Ja, den Gradienten hier Null setzen, also das Differential Null setzen.
> Wiederum steht hier dann auch bei der Hinreichenden
> Bedingung , das ich die 1. Ableitung =(0,0) gelten soll.
> Danach soll ich die 2. Abl. bilden und schauen ob gr. o.
> kl. Null, das soll dann ein indiz für Min. o. Max. sein?
Bitte was? Was für eine Formelsammlung? So etwas gilt für den eindimensionalen Fall, aber hier muss man die Definitheit der Hesse-Matrix überprüfen. (Oder auch nicht, denn man sieht leicht, dass für große y und x die Funktion sicher größer als 5 ist, dh es gibt ein absolutes Minimum an dem der Gradient Null sein muss, und es gibt blos eine solche Stelle ...)
> [mm]\bruch{ \partial^2f}{\partial^2x} \* \bruch{ \partial^2f}{\partial^2y}[/mm]
> bis dahin würde ja nun folgendes stehen: 2x8, weiter mit -
> ( [mm]\bruch{\partial^2f}{\partialx\partialy})^2.[/mm] Was schreibe
> ich in meine Klammer: ?
Was machst du hier? Einfach zweimal nach x ableiten? Dann komsmt du ja zur Hesseschen, die oben schon ausgerechnet wurde.
> Es existiert doch keine gem. Ableitung.
Häh? Also nach x und dann nach y abgeleitetist halt 0. Von nicht existieren würde ich da eher nicht sprechen ...
SEcki
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