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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 09.10.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Bestimme Bild und Kern der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] |
Die Matrix ist ja schon in Zeilenstufenform wie kann ich jetzt hier Bild,Kern ablesen oder bestimmen?
Der Rang Rang(A) einer Matrix A ist die maximale Anzahl linear unabh�ngiger Spaltenvektoren in der Matrix
also in dem fall wäre dann rang =2
oder?
aber wie bestimme ich jetzt das Bild geht es so:
Bild= ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 2} [/mm] )
und die dimension der Matrix wäre 3 oder?
wegen dim A= kern + dim bild
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 09.10.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 2}.
[/mm]
> Bestimme Bild und Kern der Matrix
> Der Rang Rang(A) einer Matrix A ist die maximale Anzahl
> linear unabhängiger Spaltenvektoren in der Matrix
Richtig.
> also in dem fall wäre dann rang =2
> oder?
Falsch.
Du hast doch [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 2}.
[/mm]
Die Matrix ist, wie du richtig festgestellt hast, in Zeilenstufenform. Wie viele linear unabhängige Spaltenvektoren gibt es denn? Ich zähle 3, rang(A)=3.
Die Basis des Bildes ist demnach: [mm] Bild(A)=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{2 \\ 4 \\ 0},\vektor{4 \\ 2 \\ 2}\}.
[/mm]
Den Kern kannst du berechnen, indem du das homogene Gleichungssystem
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 4 & | 0\\ 0 & 4 & 2 & | 0\\ 0 & 0 & 2 & | 0}
[/mm]
löst. Wie du schnell erkennst, ist der Lösungsvektor [mm] v=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
[mm] Kern(A)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
MfG barsch
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> Die Basis des Bildes ist demnach: [mm]Bild(A)=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{2 \\ 4 \\ 0},\vektor{4 \\ 2 \\ 2}\}.[/mm]
[mm] =\IR^3, [/mm] denn ein dreidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] kann nichts anderes sein als der [mm] \IR^3 [/mm] selber.
Gruß v. Angela
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