bijektive Isometrie < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Di 07.06.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und v [mm] \in [/mm] V ein Einheitsvektor.
Betrachten Sie die lineare Abbildung [mm] \sigma_{v}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V, [mm] x\mapsto [/mm] x-2<x,v>v.
Zeigen Sie , dass die Abbildung [mm] \sigma_{v} [/mm] eine bijektive Isometrie ist. |
Hallo,
es gibt eine Definition von der Isometrie :
Eine Abbildung [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W zwischen euklidischen oder unitären Vektorräumen heißt Isometrie, falls für alle x,y [mm] \in [/mm] V die Gleichung [mm] <\phi(x),\phi(y)>= [/mm] erfüllt ist.
Ausserdem , für eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W sind äquivalent:
(a) [mm] \phi [/mm] ist eine Isometrie
(b) [mm] ||\phi(x)||=||x|| [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V.
(c) [mm] ||\phi(x)-\phi(y)||=||x-y|| [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] V.
D.h
wenn man eine von folgenden Gleichungen zeigen kann, dann ist man fertig :
(1) <x-2<x,v>v,y-2<y,v>v> = <x,y>
(2) ||x-2<x,v>v-y+2<y,v>v||=||x-y||
(3) ||x-2<x,v>v||=||x||
Wir wissen, dass [mm] \sigma_{v} [/mm] linear und v ein Einheitsvektor ist.
Aber , wie man die Information verwenden kann, habe ich noch keine Idee.
Könnt ihr bitte einen Tipp für einen Ansatz geben?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 07.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und
> v [mm]\in[/mm] V ein Einheitsvektor.
> Betrachten Sie die lineare Abbildung [mm]\sigma_{v}:[/mm] V [mm]\to[/mm] V,
> [mm]x\mapsto[/mm] x-2<x,v>v.
> Zeigen Sie , dass die Abbildung [mm]\sigma_{v}[/mm] eine bijektive
> Isometrie ist.
> Hallo,
>
> es gibt eine Definition von der Isometrie :
> Eine Abbildung [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W zwischen euklidischen oder
> unitären Vektorräumen heißt Isometrie, falls für alle
> x,y [mm]\in[/mm] V die Gleichung [mm]<\phi(x),\phi(y)>=[/mm] erfüllt
> ist.
>
> Ausserdem , für eine lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W sind
> äquivalent:
> (a) [mm]\phi[/mm] ist eine Isometrie
> (b) [mm]||\phi(x)||=||x||[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] V.
> (c) [mm]||\phi(x)-\phi(y)||=||x-y||[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] V.
>
> D.h
> wenn man eine von folgenden Gleichungen zeigen kann, dann
> ist man fertig :
>
> (1) <x-2<x,v>v,y-2<y,v>v> = <x,y>
Du musst hier nur die Bilinearität des Skalarprodukts benutzen, dann steht die Identität direkt da.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
> >
> > (1) <x-2<x,v>v,y-2<y,v>v> = <x,y>
>
> Du musst hier nur die Bilinearität des Skalarprodukts
> benutzen, dann steht die Identität direkt da.
>
(linke Seite von (1))= <x,y>+4<<x,v>v,<y,v>v>-2<x,<y,v>v>-2<<x,v>v,y>
Ich komme nur dann auf das Zielergebnis,wenn man <x,y> und <y,v> wie einen Skalar rausziehen kann.
Ich zweifle aber, dass man <x, v> und <y,v> rausziehen kann, da die Ausdrücke von x bzw y abhängen (also nicht konstant).
Deshalb weiß ich nicht wie man nur mit Bilinearität weiterkommt.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 08.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> > >
> > > (1) <x-2<x,v>v,y-2<y,v>v> = <x,y>
> >
> > Du musst hier nur die Bilinearität des Skalarprodukts
> > benutzen, dann steht die Identität direkt da.
> >
>
> (linke Seite von (1))=
> <x,y>+4<<x,v>v,<y,v>v>-2<x,<y,v>v>-2<<x,v>v,y>
>
> Ich komme nur dann auf das Zielergebnis,wenn man <x,y> und
> <y,v> wie einen Skalar rausziehen kann.
> Ich zweifle aber, dass man <x, v> und <y,v> rausziehen
> kann, da die Ausdrücke von x bzw y abhängen (also nicht
> konstant).
Was hat denn das mit der Bilinearität des Skalarprodukts zu tun? Zahlen kannst du einfach vor das Skalarprodukt ziehen, und $<x,v>$ etc. sind reelle Zahlen.
Viele Grüße
Rainer
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