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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 So 24.05.2009 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und [mm] T:X\to [/mm] X stetig und linear mit ||T|| < 1. Sei S definiert durch S:= [mm] \summe_{n=0}^\infty T^n
[/mm]
zeigen sie:
Id-T ist bijektiv und es ist S = (Id - T)^-1 |
hey leute, komme bei dieser aufgabe gar nicht weiter und hab kein ansatz.
wollte bei der bijektion zeigen, dass T monoton ist und damit weiter arbeiten, aber das ist glaub ich bei einem allgemeinen banachraum so ohne weiteres gar nciht möglich, da man keine ordnungsrelation auf X hat und bin somit wieder bei 0.
könnt ihr mir bitte etwas weiterhelfen :(
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 24.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist ,wegen $||T||<1$ die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^\infty T^n [/mm] $ absolut konvergent und wegen der Vollständigkeit der Menge aller stetigen linearen Operatoren von X in sich, ist die Reihe auch konvergent.
Insbesondere: [mm] T^n \to [/mm] 0 (in der Operatorennorm)
Setze [mm] S_n:= [/mm] $ [mm] \summe_{k=0}^n T^k [/mm] $ . Dann ist
[mm] $(id-T)S_n= S_n(id-T) [/mm] = [mm] id-T^{n+1}$
[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty, [/mm] und alles steht da.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 24.05.2009 | | Autor: | AriR |
hey vielen dank schonmal..
leider kann ich es nur noch nicht ganz nachvollziehen. ich glaube das hauptproblem ist folgendes:
wir bewegen uns ja in dem VR X und es gilt [mm] (id-T):X\to [/mm] X genau so wie [mm] S:X\to [/mm] X.
wenn man nun (id-T)*S rechnet, multipliziert man sozusagen 2 vektoren aus dem VR X, aber in vertorräumen gibts doch im allgemeinen keine innere muliplakation, also eine multiplikation von 2 vektoren aus dem VR. was genau ist hier gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
(id-T)*S ist doch die Hintereinanderausführung (Verkettung) zweier linearer Abbildungen !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mo 25.05.2009 | | Autor: | AriR |
:D das hab ich jezt voll verpatzt. klar danke.
meine rechnug sieht jetzt so aus
[mm] S_n\circ (Id-T)=\summe_{n=0}^\infty T^n(Id-T)=\summe_{n=0}^\infty T^n(Id)-T^n(T)=\summe_{n=0}^\infty T^n-T^{n+1}
[/mm]
irgendwie geht das immer noch nicht auf :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] S_n:= [/mm] $ $ [mm] \summe_{k=0}^n T^k [/mm] $
!!!!!!!!!!!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mo 25.05.2009 | | Autor: | AriR |
ich komme immer noch nicht weiter :((
[mm] S_n\circ (Id-T)=\summe_{k=0}^n T^k(Id-T)=\summe_{k=0}^n T^k(Id)-T^k(T)=\summe_{n=0}^n T^k-T^{k+1}
[/mm]
kannst du mir nich bitte noch ne hilfe geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich komme immer noch nicht weiter :((
>
> [mm]S_n\circ (Id-T)=\summe_{k=0}^n T^k(Id-T)=\summe_{k=0}^n T^k(Id)-T^k(T)=\summe_{k=0}^n T^k-T^{k+1}[/mm]
>
> kannst du mir nich bitte noch ne hilfe geben?
[mm]S_n\circ (Id-T)=\summe_{k=0}^n T^k(Id-T)=\summe_{k=0}^n (T^k(Id)-T^k(T))=\summe_{k=0}^n (T^k-T^{k+1}) = (I-T)+(T-T^2)+ ... +(T^n-T^{n+1}) = I-T^{n+1}[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mo 25.05.2009 | | Autor: | AriR |
ach natürlich :D das ist ja eine teleskopsumme
besten dank :)
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