beweise potenzieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Aufg. aus 9. Kl. Gym., S.122, Nr. 8
Beweise die Rechenregel für das Potenzieren von Potenzen mi natürl. Exponenten! |
Hallo,
es fängt schon damit an, dass ich nicht weiß, wie ich die Aufg. verstehen soll:
Eine Potenz ist z.B. [mm] 2^3
[/mm]
Wie potenziert man nun [mm] 2^3,
[/mm]
dann ist die Rechenregel [mm] 2^3=2*2*2
[/mm]
oder
meint potenzieren von Potenzen z.B.
[mm] 2^3 [/mm] wird mit 4 potenziert,
dann ist die Rechenregel, die bewiesen werden soll [mm] (2^3)^4=2^{12}
[/mm]
Da ich ersteres nicht beweisen kann; kann nur sagen, dass das so ist
ist sicher zweites gemeint (ichs gebs zu: etw. merkwürdiges Argument).
Ich "kann keine Beweise". Reicht es, wenn ich zeige, dass das [mm] (2^3)^4=2^12 [/mm] gilt?
[mm] (2^3)^4 [/mm] = [mm] 2^4*2^4*2^4* =2^3*4 [/mm] = 2^12
von [mm] 2^4 [/mm] gibt es 3
[mm] 2^4=2*2*2*2
[/mm]
also 4*3 Zweien
Um das zu beweisen müsste ich anstelle eines konkreten Zahlenbeispiels jetzt Buchstaben (Variable) nehmen oder? Alle Buchstaben klar festlegen u. def. u. das ganze allg. ausdrücken.
Kann ich nicht.
Soll das hier wirklich v. Schüler verlangt werden? Geht es nicht einfacher?
Für alle Hilfe wie immer: großartigen Dank
grüsse
Sabine
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Zu aller erst ist die Frage welche Gesetze genau gemeint sind.
Mir fallen so spontan mit Exponenten $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] und $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] ein paar ein:
[mm] $a^n*b^n [/mm] = [mm] (ab)^n
[/mm]
[mm] a^n:b^n [/mm] = [mm] (a/b)^n [/mm] (für b [mm] \not= [/mm] 0)
[mm] a^n*a^m [/mm] = [mm] a^{n+m}
[/mm]
[mm] a^n:a^m [/mm] = [mm] a^{n-m} [/mm] (für a [mm] \not= [/mm] 0, n>m)
[mm] (a^n)^m [/mm] = [mm] a^{n*m}$
[/mm]
Die werden zumeist anschaulich "bewiesen", in dem man sich mit Pünktchen (oder ggf. Produktschreibweise falls schon bekannt) hinschreibt was da steht und das dann mit Assoziativ- und Kommutativgesetz ein wenig umsortiert.
Also zu deinem Beispiel würde ich das so machen:
[mm] $(a^n)^m [/mm] = [mm] \overbrace{a^n*a^n*\cdots*a^n}^{m-Mal} [/mm] = [mm] \overbrace{\underbrace{(a*a*\cdots*a)}_{n-Mal}*\cdots*\underbrace{(a*a*\cdots*a)}_{n-Mal}}^{m-Mal} [/mm] = [mm] \overbrace{a*a*\cdots*a}^{n*m-Mal} [/mm] = [mm] a^{n*m}$
[/mm]
Das dürfte für Schulniveau vollkommen ausreichen, ich hab es auch an der Uni schon ab und zu so gesehen.
Die anderen "Beweise" gehen entsprechend, ggf. mit ein wenig Assoziativ- und/oder Kommutativgesetz.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Giraffe |
$ [mm] (a^n)^m [/mm] = [mm] \overbrace{a^n\cdot{}a^n\cdot{}\cdots\cdot{}a^n}^{m-Mal} [/mm] = [mm] \overbrace{\underbrace{(a\cdot{}a\cdot{}\cdots\cdot{}a)}_{n-Mal}\cdot{}\cdots\cdot{}\underbrace{(a\cdot{}a\cdot{}\cdots\cdot{}a)}_{n-Mal}}^{m-Mal} [/mm] = [mm] \overbrace{a\cdot{}a\cdot{}\cdots\cdot{}a}^{n\cdot{}m-Mal} [/mm] = [mm] a^{n\cdot{}m} [/mm] $
das hast du aber schön gemacht! Toll! Das verstehe ich sogar! Aber da muss man erstmal drauf kommen-ich wäre das nicht.
Ja, das reicht vollkommen - vielen Dank für die Mühe des Formatierens u. dein Wissen
Wunderbar!
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