beweise die aussage < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 08.12.2004 | | Autor: | meee |
hallo leute, ich muss beweisen, dass der ausdruck
A [mm] \subseteq [/mm] X und B [mm] \subseteq [/mm] X => A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq
[/mm]
ICH habe so angefangeN
( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] B ) : x [mm] \in [/mm] X
=> A [mm] \le [/mm] ( A + B ) [mm] \le [/mm] X
=> B [mm] \le [/mm] ( A + B ) [mm] \le [/mm] X
leider weiß ich nicht, wie ich dies mit dem durchschnitt [mm] \cup [/mm] weiter machen soll. habt ihr vielleicht einen vorschlag?
|
|
| |
|
Hallo meee!
> hallo leute, ich muss beweisen, dass der ausdruck
> A [mm]\subseteq[/mm] X und B [mm]\subseteq[/mm] X => A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq
[/mm]
> ICH habe so angefangeN
> ( [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] B ) : x [mm]\in[/mm] X
> => A [mm]\le[/mm] ( A + B ) [mm]\le[/mm] X
> => B [mm]\le[/mm] ( A + B ) [mm]\le[/mm] X
> leider weiß ich nicht, wie ich dies mit dem durchschnitt
> [mm]\cup[/mm] weiter machen soll. habt ihr vielleicht einen
> vorschlag?
Mmh, ich glaube, hier läuft einiges durcheinander. Du solltest die [mm] \le [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] -Zeichen nicht verwechseln, erstes benutzt man für Zahlwerte und zweites für Mengen.
Ich würde deine Aufgabe so lösen:
[mm] \forall x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in [/mm] X
[mm] \forall x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in [/mm] X
[mm] \Rightarrow \forall x\in A\cup [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in [/mm] X
Ich nehme an, das solltest du zeigen? In deinem Text fehlt da was.
Vielleicht versuchst du's auch mal mit einer Zeichung (nur zur Veranschaulichung natürlich!  ) Dann siehst du, dass die Aussage eigentlich klar ist. Denn [mm] \cup [/mm] (das ist übrigens die Vereinigung und nicht der Durchschnitt!!!) bedeutet ja einfach nur, dass das x in der einen oder der anderen Menge liegt. Und wenn aber aus beiden Mengen (einzeln) folgt, dass es dann auch in x liegt, dann folgt das hier natürlich auch.
Ich weiß nicht, ob du das jetzt verstehst, ansonsten frag nochmal genau nach.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 08.12.2004 | | Autor: | meee |
hallo bastiane, vielen vielen dank, dass du so schnell antwortest. ich versuche zu zeigen, dass X eine Teilmenge von A ist und dass X auch eine Teilmenge von B ist, also X [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
ich muss sagen, dass ich auch an sowas gedacht habe, aber ich glaube, dass dieser beweis nicht ausreicht, denn ich habe mir am anfang das so vorgestellt:
( A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] X)
( B [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B : x [mm] \in [/mm] X)
wenn ich aber den letzten schritt so schreibe wie du es geschrieben hast, dann müsste ich ja eigentlich nicht vereinigt, sondern durchschnitt schreiben oder? was ich damit sagen möchte, ist, dass ich ja nicht einfach schreiben kann, dass X in A und B liegt, ohne es richtig nachgewiesen zu haben. Was meinst du dazu?
MFG meee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo meee!
Entschuldige, dass ich deine Frage erst jetzt lese, obwohl ich den ganzen Tag hier war... Vielleicht ist es einfach nur zu spät, aber vielleicht wäre es trotzdem nicht schlecht, wenn du mal die exakte Aufgabenstellung angeben könntest. Ich denke, ich kann mir die Aufgabe dann morgen nochmal angucken.
Viele Grüße
und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 08.12.2004 | | Autor: | meee |
hi nochmal, wir stellen uns vor, dass A und B Teilmengen einer Menge M sind . Nun müssen wir zeigen, dass für jede Teilmenge X von M die Aussage wahr ist und sie hiermit beweisen und so wie du das aufgeschrieben hast, hab ich ja auch ungefähr gehabt, nur dass ich noch die teilmengen dazu geschrieben habe, aber leider glaube ich, dass dies nicht ausreicht, oder was denkst du?
viele Grüße
mee
|
|
|
| |
|
Hallo meee,
wenn ich das richtig sehe willst du zeigen:
1.) (A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] X) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] X
2.) (X [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
Das machst du am besten über die Element-Relation.
zu 1.)
(A [mm] \subseteq [/mm] X) [mm] \gdw [/mm] (a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] X)
(B [mm] \subseteq [/mm] X) [mm] \gdw [/mm] (a [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \in [/mm] X)
Mit der Beobachtung, dass für die Vereinigung zweier Mengen gilt
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) kann man schließen, dass
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] X)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X))
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X))
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X)) [mm] \vee
[/mm]
[mm] \vee [/mm] ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X))
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Zusammengefasst steht da:
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X
was äquivalent ist zu
A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] X
Das sieht furchtbar kompliziert aus, fasst aber nur in Aussagenlogik, was eingentlich total offensichtlich ist:
wenn ich ein Element aus der Vereinigungsmenge nehme, dann liegt es in A oder in B (evtl. ja auch in beiden). Wenn beide Teilmengen von X sind, dann ist es egal, ob x aufgrund der Teilmengeneigenschaft von A oder von B auch zu X gehört. Auf jeden Fall ist x dann ein Element von X und somit ist die Vereinigungsmenge eine Teilmenge von X.
Der Beweis von 2.) geht bis auf ein paar kleine Veränderungen genauso.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 26.10.2007 | | Autor: | success |
Hi, ich beschäftige mich gerade auch mit ähnlichen Beweisen.
Würde mir jemand diesen letzten Schritt aus Hugo_Sanchez-Vicarios Antwort erklären?
$ [mm] \gdw [/mm] $ ((x $ [mm] \in [/mm] $ A) $ [mm] \wedge [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X) $ [mm] \wedge [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X)) $ [mm] \vee [/mm] $
$ [mm] \vee [/mm] $ ((x $ [mm] \in [/mm] $ B) $ [mm] \wedge [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X) $ [mm] \wedge [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X))
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ X $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X)
Danke. :)
|
|
|
| |
|
Hallo success,
ich habe deine Nachfrage erst jetzt gesehen, tut mir leid. Diese Diskussion ist ja auch schon ziemlich alt. 
Ich muss zugeben, dass ich selbst auch nicht sofort verstanden habe, was ich damals geschrieben habe, aber so langsam kommt alles wieder.
Also der letzte Schritt war die Anwendung des Distributivgesetzes fuer die Verknuepfung von logischen Aussagen. Wir vollfuehrten damit die Umformung
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X)) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X)) [mm] \vee
[/mm]
[mm] \vee [/mm] ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X))
Jetzt schwaecht man die Aussage ab.
[mm] \Rightarrow [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X)) [mm] \vee [/mm] ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X))
Man schwaecht die Aussage weiter ab.
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] X) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X)
So zeigt man (auf eine sehr formale Weise), dass folgendes gilt:
Die gegebenen Aussagen (x [mm] \in [/mm] A), (x [mm] \in [/mm] B), (A [mm] \subset [/mm] X) und (B [mm] \subset [/mm] X) implizieren zusammen die Aussage (x [mm] \in [/mm] X).
Hugo
|
|
|
|
