beweis von krit.stelle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Do 08.01.2015 | | Autor: | LGS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Für $(x,y) \in \IR^2 $sei
$P(x,y)= (y-x^2)(y-3x^2)$
$a) $Berechnen Sie $\nabla P(x,y)$ und zeigen sie,dass $(0,0)$ der einyige kritische Punkt von P ist.
$b)$ Zeigen sie,dass Hess$P(0,0) $positiv semidefinit ist und dass in $(0,0) $kein lokales Extremum vorliegt
$c)$ Zeigen sie,dass für jedes $h=(h_1,h_2) \in \IR^2\setminus(0,0) $die Funktion $\phi_h : t\mapsto P(th_1,th_2) $in $0$ ein isoliertes Minimum besitzt |
$a) $
$\frac{df}{dx}= -6x{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right) $
$\frac{df^2}{dx^2}=-6{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right)+24{x}^{2} $
$\frac{df}{dy}= 2y-4{x}^{2} $
$\frac{df^2}{dy^2}= 2 $
$\frac{df^2}{dxdy}=\frac{df^2}{dydx}= -8x $
$\nabla P(x,y) = 0 $
$\nabla P(x,y) = \vektor{-6x{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right) \\ 2y-4{x}^{2}} = 0 $
$2y-4{x}^{2}} = 0 $
$<=>2y= 4x^2$
$<=>y= 2x^2 $
$\Rightarrow y$ in die obere Gleichungeingesetzt
$0=-6x{\cdot}\left(2x^2 -{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(2x^2 -3{x}^{2}\right) =-6x^3+2x^3 = -4x^3 \Rightarrow x= 0 \Rightarrow y= 0 $
$b)$
einzige kiritische Stelle $(0,0)$
in hesse matrix
$\pmat{ 6{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right)+24{x}^{2} & -8x \\ -8x & 2 }$
$(0,0)$ eingesetzt $\Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }$
$\Rightarrow Char(Hessf) = (0-\lamda)*(2-\lambda) = 0+0+-2\lambda+ \lambda^2 = \lambda^2 -2\lambda =0 \Rightarrow \lambda=0 \wedge \lambda=2 \Rightarrow$ ist positiv semidefinit und hat keine Extrema.
bei der $c)$ hab ich keine Ahnung
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Fr 09.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm](x,y) \in \IR^2 [/mm]sei
>
> [mm]P(x,y)= (y-x^2)(y-3x^2)[/mm]
>
> [mm]a) [/mm]Berechnen Sie [mm]\nabla P(x,y)[/mm] und zeigen sie,dass [mm](0,0)[/mm]
> der einyige kritische Punkt von P ist.
> [mm]b)[/mm] Zeigen sie,dass Hess[mm]P(0,0) [/mm]positiv semidefinit ist und
> dass in [mm](0,0) [/mm]kein lokales Extremum vorliegt
>
> [mm]c)[/mm] Zeigen sie,dass für jedes [mm]h=(h_1,h_2) \in \IR^2\setminus(0,0) [/mm]die
> Funktion [mm]\phi_h : t\mapsto P(th_1,th_2) [/mm]in [mm]0[/mm] ein isoliertes
> Minimum besitzt
> [mm]a)[/mm]
>
>
> [mm]\frac{df}{dx}= -6x{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right)[/mm]
>
> [mm]\frac{df^2}{dx^2}=-6{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right)+24{x}^{2}[/mm]
>
>
> [mm]\frac{df}{dy}= 2y-4{x}^{2}[/mm]
>
> [mm]\frac{df^2}{dy^2}= 2[/mm]
>
> [mm]\frac{df^2}{dxdy}=\frac{df^2}{dydx}= -8x[/mm]
>
>
> [mm]\nabla P(x,y) = 0[/mm]
>
> [mm]\nabla P(x,y) = \vektor{-6x{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right) \\ 2y-4{x}^{2}} = 0[/mm]
>
> [mm]2y-4{x}^{2}} = 0[/mm]
> [mm]<=>2y= 4x^2[/mm]
> [mm]<=>y= 2x^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y[/mm] in die obere Gleichungeingesetzt
>
> [mm]0=-6x{\cdot}\left(2x^2 -{x}^{2}\right)-2x{\cdot}\left(2x^2 -3{x}^{2}\right) =-6x^3+2x^3 = -4x^3 \Rightarrow x= 0 \Rightarrow y= 0 [/mm]
>
> [mm]b)[/mm]
>
> einzige kiritische Stelle [mm](0,0)[/mm]
>
> in hesse matrix
>
>
> [mm]\pmat{ 6{\cdot}\left(y-{x}^{2}\right)-2{\cdot}\left(y-3{x}^{2}\right)+24{x}^{2} & -8x \\ -8x & 2 }[/mm]
>
>
> [mm](0,0)[/mm] eingesetzt [mm]\Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow Char(Hessf) = (0-\lamda)*(2-\lambda) = 0+0+-2\lambda+ \lambda^2 = \lambda^2 -2\lambda =0 \Rightarrow \lambda=0 \wedge \lambda=2 \Rightarrow[/mm]
> ist positiv semidefinit
Bis hier ist alles O.K.
> und hat keine Extrema.
Das hast Du noch nicht gezeigt !
>
>
>
> bei der [mm]c)[/mm] hab ich keine Ahnung
Warum machst Du Dir nicht die Mühe und berechnest mal
[mm] f(t):=P(th_1,th_2)
[/mm]
f ist eine Funktion von einer Variablen. Zeigen sollst Du, dass f in t=0 ein Minimum hat. Das geht mit Schulmathematik !
FRED
>
>
>
|
|
|
|
