beweis mithilfe mws < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Man beweise mit hilfe des 1.mws die UNgleichung sinx < x für 0<x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Hallo!
Mal wieder eine "simple" Aufgabe, denkt nicht, dass ich alles was ich so zum lernen hab hier poste, das sammelt sich im laufe des tages immer so an;)
Definition des MWS ist ja: Eine funktion f sei im intervall [a,b] stetig und in (a,b) differenzierbar. Dann existiert ein [mm] \xi [/mm] E(a,b) so, dass gilt:
[mm] \bruch{ f(b)- f(a)}{b-a} [/mm] = [mm] f'(\xi)
[/mm]
Vom logischen ist es klar, Der sinus läuft mit x 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] von 0 bis 1.
daher is der sinus kleiner als x.
Wie das aber nun mit dem mittelwertsatz gehen soll, weiss ich nicht so recht.
setzt man dann 0 und [mm] \pi [/mm] halbe als a und b in der definition ein und sinx
als funktion, und das ganze einmal mit x als funktion?
oder wie funktionierts?
danke fuer die hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise mit hilfe des 1.mws die UNgleichung sinx < x
> für 0<x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
> Hallo!
>
> Mal wieder eine "simple" Aufgabe, denkt nicht, dass ich
> alles was ich so zum lernen hab hier poste, das sammelt
> sich im laufe des tages immer so an;)
>
> Definition des MWS ist ja:
Der MWS ist keine Def. sondern ein Satz !
> Eine funktion f sei im intervall
> [a,b] stetig und in (a,b) differenzierbar. Dann existiert
> ein [mm]\xi[/mm] E(a,b) so, dass gilt:
> [mm]\bruch{ f(b)- f(a)}{b-a}[/mm] = [mm]f'(\xi)[/mm]
>
> Vom logischen ist es klar, Der sinus läuft mit x 0 bis
> [mm]\pi/2[/mm] von 0 bis 1.
> daher is der sinus kleiner als x.
> Wie das aber nun mit dem mittelwertsatz gehen soll, weiss
> ich nicht so recht.
> setzt man dann 0 und [mm]\pi[/mm] halbe als a und b in der
> definition ein und sinx
> als funktion, und das ganze einmal mit x als funktion?
>
> oder wie funktionierts?
Setze $ f(x) = sin(x)$. Sei 0<x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm].
Dann ex. ein [mm] \xi \in [/mm] (0,x) mit : [mm] $\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] cos(\xi)$
[/mm]
Wegen 0< [mm] \xi[/mm] [mm] < \bruch{\pi}{2}[/mm] ist 0< [mm] cos(\xi) [/mm] <1
Jetzt hab ich Dir schon fast alles vorgemacht !?
FRED
>
> danke fuer die hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, du hast nun zwar fast alles vorgemacht,
nachvollziehen kann ich auch gut, was du gemacht hast, hab das bis zu dem punkt ja auch schon gemacht,
nur weiss ich nun eben nciht wie weiter:(
irgendwie muss man ja nun das x ins spiel bringen...
kannst mir nochmal helfen?
danke,
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
$ [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] cos(\xi) [/mm] $
und [mm] $cos(\xi) [/mm] <1 $. Also
$ [mm] \bruch{sin(x)}{x}<1$
[/mm]
Multiplziere dies mit x durch (beachte x>0). Was erhälst Du dann ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
:) danke:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Übrigends: aus
$ [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] cos(\xi) [/mm] $
folgt
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1$,
denn mit x [mm] \to [/mm] 0 haben wir auch [mm] \xi \to [/mm] 0.
Analog kann man zeigen: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1$,
Also : [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1$,
Damit hast Du eine weitere Antwort auf eine Deiner früheren Fragen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Di 22.09.2009 | | Autor: | katjap |
ja das stimmt, habs auch während der aufgabe festgestellt:)
danke nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja das stimmt, habs auch während der aufgabe
> festgestellt:)
>
> danke nochmal!
Eigentlich war das kein weiterer Weg: in Deiner früheren Frage habe ich die Regel von de L'Hospital angesprochen. Diese Regel beweist man mit dem (erweiterten) MWS
FRED
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