beweis komposition von funkt. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
Fur Abbildungen f : M [mm] \Rightarrow [/mm] N und g : N [mm] \Rightarrow [/mm] L zeige man:
(a) Ist g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, so ist auch g surjektiv.
(b) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist auch f injektiv.
(c) finde eine funktion c [mm] \circ [/mm] die bijektiv , aber c nicht injektiv und f nicht surjektiv ist
zu a)
wegen g [mm] \circ [/mm] f = g(f()) gilt insbesondere g(N)=L
was die behaptung schon ist, die frage die sich mir hier stellt, folgt nicht eher aus der behauptung f surjektiv ? und g ist eh immer das was [mm] g\circ [/mm] irgendwas ist oder ?
nur wie zeige ich b?
zu b)
aus g [mm] \circ [/mm] f injectiv folgt fuer mich :
g(x)=g(x') [mm] \Rightarrow [/mm] x=x'
aber nicht unbedingt:
f(y)=f(y') [mm] \Rightarrow [/mm] y=y'
zu c) setze
[mm] g=x^2 [/mm] und f= |x|
dann muesste das hinhauen oder ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi,
a.) nein f kann auch nicht surjektiv sein, beispiel: sei M={1,2,3,4}=N und L={0,1}. f:M->N mit 1,2 [mm] \mapsto [/mm] 1 und 3,4 [mm] \mapsto [/mm] 4
g:N->L mit 1,2 [mm] \mapsto [/mm] 0 und 3,4 [mm] \mapsto [/mm] 1
zum beweis: nutze folgende def son surjektivität: g surjektiv gdw. es zu jedem l [mm] \in [/mm] L ein n [mm] \in [/mm] N ex. s.d. g(n)=l
b.) nutze diese definition: f injektiv g.d.w x,y [mm] \in [/mm] M x [mm] \not=y [/mm] => f(x) [mm] \not=f(y)
[/mm]
schreibe immer hin was gegeben ist und was zu zeigen ist, versuche dann eine verbindung zu sehen/aufzustellen
c.) bitte genauer formulieren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo ehrlichbemuehter!
Mal schnell zu b) (danach gehe ich schlafen):
Für Abbildungen $f : M [mm] \rightarrow [/mm] N$ und $g : N [mm] \rightarrow [/mm] L$ zeige man:
(b) Ist g $ [mm] \circ [/mm] $ f injektiv, so ist auch f injektiv.
Voraussetzung:
[m]g \circ f: M \to L[/m] sei injektiv!
zu zeigen:
$f$ ist injektiv.
Beweis:
Seien [mm] $m_1,m_2 \in [/mm] M$ mit [mm] $f(m_1)=f(m_2)$ ($\in [/mm] N$). Dann gilt natürlich:
[mm] $g(f(m_1))=g(f(m_2))$ [/mm]
(Dies gilt, da $g$ ja eine Abbildung ist; definiere etwa:
[mm] $n:=f(m_1)\;(\in [/mm] N)$, dann steht dort wegen [mm] $n=f(m_1)=f(m_2)$ [/mm] nix anderes als:
[m]g(\underbrace{n}_{=f(m_1)})=g(\underbrace{n}_{=f(m_2)})[/m], was sicherlich stimmt!).
D.h.:
[m](g \circ f)(m_1)=g(f(m_1))=g(f(m_2))=(g \circ f)(m_2)[/m].
Da aber $g [mm] \circ [/mm] f$ nach Voraussetzung injektiv ist, folgt daraus [mm] $m_1=m_2$.
[/mm]
Also ist $f$ injektiv!
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") !
Marcel
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gut, dann mach ich noch die a) ganz:
sei l [mm] \in [/mm] L
g [mm] \circ [/mm] f surjektiv => es ex. ein m [mm] \in [/mm] M mit (g [mm] \circ [/mm] f)(m)=l
also g(f(m))=l wobei f(m) [mm] \in [/mm] N
=> zu jedem l [mm] \in [/mm] L ex. ein n [mm] \in [/mm] N mit g(n)=l
=> g ist surjektiv
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danke leute, ich hatte gestern keine zeit mehr, jetzt muss ich mir erst einmal eure vorschlaege zu gemuete fuehren ...
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