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Forum "Uni-Analysis" - betrag von x Ich habe diese Fr
betrag von x Ich habe diese Fr < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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betrag von x Ich habe diese Fr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Mi 19.10.2005
Autor: didinanana

beweise :
Ia*bI= IaI*IbI

ich hab mir überlegt: als erstes Beweis:
a  [mm] \le [/mm]  IaI
1. wenn a  [mm] \ge [/mm] 0, dann gilt IaI=a
2. wenn a < 0, dann gilt IaI= -a   [mm] \Rightarrow [/mm] IaI>0
Es gilt a<0 und o<a  [mm] \Rightarrow [/mm] a<0<IaI

aus 1. und 2. folgt a  [mm] \le [/mm]  IaI

jetzt dasselbe mit -a
.. am schluß folgt daraus: -a  [mm] \le [/mm] I-aI

und als 2ter beweis b [mm] \le [/mm] IbI
analog a

wenn ich jetzt die endergebnisse vielleicht multipliziere:
a  [mm] \le [/mm]  IaI * b [mm] \le [/mm] IbI  [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \le [/mm] IaI*IbI


Ps: IaI= betrag von a
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Anderer Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mi 19.10.2005
Autor: Loddar

Hallo didinanana,

[willkommenmr] !!


Mir ist etwas unklar [keineahnung] , warum Du hier plötzlich auf Ungleichungen kommst, wenn Du eine Gleichung beweisen willst.


Mein Ansatz wäre folgender:


Fall 1: $a \ > \ 0$  und  $b \ > \ 0$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]  $a*b \ > \ 0$  und  $|a*b| \ = \ a*b$  und  $|a| \ = \ a$  und  $|b| \ = \ b$


$|a*b| \ = \ a*b \ = \ |a| * |b|$   [ok]



Fall 2: $a \ > \ 0$  und  $b \ < \ 0$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]  $a*b \ < \ 0$  und  $|a*b| \ = \ -a*b$  und  $|a| \ = \ a$  und  $|b| \ = \ -b$


$|a*b| \ = \ -a*b \ = \ a*(-b) \ = \ |a| * |b|$   [ok]


usw.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Sa 05.11.2005
Autor: kaheme

Hallihallo...

ist der Lösungsweg von Loddar jetzt richtig und ich muss 4 Fälle betrachten?

Und warum ist in Fall2..
$ [mm] |a\cdot{}b| [/mm] \ = \ [mm] -a\cdot{}b [/mm] $ ?
muss es nicht: $ [mm] |a\cdot{}b| [/mm] \ =  \ [mm] a\cdot{}(-b) \$ [/mm]  heißen? Da b ja < 0 ist?
> Hallo didinanana,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> Mir ist etwas unklar [keineahnung] , warum Du hier
> plötzlich auf Ungleichungen kommst, wenn Du eine Gleichung
> beweisen willst.
>  
>
> Mein Ansatz wäre folgender:
>  
>
> Fall 1: [mm]a \ > \ 0[/mm]  und  [mm]b \ > \ 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]a*b \ > \ 0[/mm]  und  [mm]|a*b| \ = \ a*b[/mm]  und  [mm]|a| \ = \ a[/mm]
>  und  [mm]|b| \ = \ b[/mm]
>  
>
> [mm]|a*b| \ = \ a*b \ = \ |a| * |b|[/mm]   [ok]
>  
>
>
> Fall 2: [mm]a \ > \ 0[/mm]  und  [mm]b \ < \ 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]a*b \ < \ 0[/mm]  und  [mm]|a*b| \ = \ -a*b[/mm]  und  [mm]|a| \ = \ a[/mm]
>  und  [mm]|b| \ = \ -b[/mm]
>  
>
> [mm]|a*b| \ = \ -a*b \ = \ a*(-b) \ = \ |a| * |b|[/mm]   [ok]
>  
>
> usw.
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  
Bezug
                        
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Sa 05.11.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> ist der Lösungsweg von Loddar jetzt richtig und ich muss 4
> Fälle betrachten?

Wieso zweifelst du an Loddars Antwort? Ich kann mich nicht dran erinnern, dass er hier schon mal so etwas Falsches gepostet hat (höchstens Tipp- oder Flüchtigkeitsfehler...).
  
> Und warum ist in Fall2..
>  [mm]|a\cdot{}b| \ = \ -a\cdot{}b[/mm] ?
>  muss es nicht: [mm]|a\cdot{}b| \ = \ a\cdot{}(-b) \[/mm]  heißen?
> Da b ja < 0 ist?

Das ist doch genau das Gleiche - du kannst ruhig zuerst a*(-b) schreiben und dann ein Gleichheitszeichen dahinter und dann -ab.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                                
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Sa 05.11.2005
Autor: kaheme

Ja, ich weiß schon, dass a*(-b) = -ab ist, aber da wir gerade zum Anfang des 1.Semesters jeden Sche** beweisen müssen, wie z.b. (-1)*a = -a oder dass (-1)*a = a*(-1) ist, bin ich etwas geschädigt! Jahre lang rechnet man damit, und auf einmal muss echt alles noch mal bewiesen werden!
Weiß halt noch nicht so richtig, was die Profs an der Uni alles so wissen wollen und was nicht! Da echt alles bewiesen und noch mal genau definiert werden muss!
Wir sollen z.B. auch Widerlegen, dass Ia - bI <= IaI - IbI ist!
Was heißt Widerlegen? Reicht hier z.B. ein Beispiel aus? Oder muss alles Allgemein bewiesen bzw. widerlegt werden?


Bezug
                                        
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Gegenbeispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 05.11.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> Wir sollen z.B. auch Widerlegen, dass Ia - bI <= IaI - IbI
> ist!

Na, für eine neue Aufgabe solltest du aber auch eine neue Diskussion anfangen!

>  Was heißt Widerlegen? Reicht hier z.B. ein Beispiel aus?
> Oder muss alles Allgemein bewiesen bzw. widerlegt werden?

Naja, wenn du etwas widerlegen sollst, kannst du schlecht ein Beispiel angeben - es muss schon ein Gegenbeispiel sein! ;-) Aber das reicht in der Tat aus.

Und bitte benutze doch den Betragstrich anstatt dieser schrecklichen I's - das kann man ja kaum erkennen! Den Betragstrich findest du auf der Tastatur auf derselben Taste wie < und >, um den | zu erhalten, musst du dazu noch Alt Gr drücken.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Sa 05.11.2005
Autor: kaheme

|Alles klar, danke!| Hab sie tatsächlich gefunden! :)
Bezug
                        
Bezug
betrag von x Ich habe diese Fr: etwas ausführlicher
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Sa 05.11.2005
Autor: Loddar

Hallo kaheme!


> ist der Lösungsweg von Loddar jetzt richtig und ich muss 4
> Fälle betrachten?

Ich sage: JA! ;-)



> Und warum ist in Fall2..
> [mm]|a\cdot{}b| \ = \ -a\cdot{}b[/mm] ?
> muss es nicht: [mm]|a\cdot{}b| \ = \ a\cdot{}(-b) \[/mm]  heißen?
> Da b ja < 0 ist?

Aus $a \ > \ 0$ und $b \ < \ 0$ folgt ja: $a*b \ < \ 0$ ("Plus mal Minus gibt Minus")

Das heißt also für den Betrag des Produktes: [mm] $\left|a*b\right| [/mm] \ = \ -(a*b)$


Und für die einzelnen Faktoren: $|a| \ = \ +a$  sowie   $|b| \ = \ -b$


Das zusammengesetzt ergibt dann meine obige Behauptung:

$|a*b| \ = \ -(a*b) \ = \ -a*b \ = \ a*(-b) \ = \ |a| \ * \ |b|$  [ok]


Gruß
Loddar

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