bestimmtes integral sin cos < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es soll gezeigt werden:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}\*sin( [m+2]\*x ) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m+2}
[/mm]
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hi, also ich bekomme durch 2 faches partielles integrieren
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}\*sin( [m+2]\*x ) dx} [/mm] = [mm] \bruch{m+2}{4m+4} [/mm] - [mm] \bruch{m(m-1)}{4m+4}\*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m-2}\*sin( [m+2]\*x ) dx}
[/mm]
raus, kann wer helfen?
danke!
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Hallo hummelhans,
> es soll gezeigt werden:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}\*sin( [m+2]\*x ) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{m+2}[/mm]
>
> hi, also ich bekomme durch 2 faches partielles integrieren
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}\*sin( [m+2]\*x ) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{m+2}{4m+4}[/mm] Eingabefeldgröße: -
> [mm]\bruch{m(m-1)}{4m+4}\*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m-2}\*sin( [m+2]\*x ) dx}[/mm]
Folgender Trick zur Berechnung des obigen Integrals:
[mm]\integral_{}^{}{cos(x)^{m}\*sin( [m+2]\*x ) dx}[/mm]
[mm]= \integral_{}^{}{\cos^{m}\left(x\right)*\left(sin\left(m+1\right)*\cos\left(x\right) +\cos\left(m+1\right)*x\right)*\sin\left(x\right)) dx}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}}{\cos^{m+1}\left(x\right)*\sin\left( \left(m+1\right)x \right) \ dx}+\integral_{}^{}{cos(x)^{m}\*\sin\left(x\right)*\cos\left(\left(m+1\right)x\right) \ dx}[/mm]
Jetzt berechnest Du das zweite Integral durch partielle Integration.
Dann stellst Du fest, daß obiges nicht stimmen kann.
Beziehungsweise es muß dann hier heißen:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{\left(m\red{+1}\right)}\*sin( [m+\red{3}]\*x ) dx}=\bruch{1}{m+2}[/mm]
>
>
> raus, kann wer helfen?
> danke!
Gruß
MathePower
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also vielen dank schonmal, hat mir viel geholfen. bin momentan am letzten schritt (glaub ich zumindest), weiss aber nicht wie ich den machen soll
ich habe jetzt folgenes da stehen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx} [/mm] = [mm] \bruch{m}{m+1}*
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m-1}*sin( [m+1]*x ) dx}
[/mm]
ich habe mich auch leider verschrieben, in der aufgabe heisst es:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m+1}
[/mm]
soll gezeigt werden,
danke!!!
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Hallo hummelhans,
> also vielen dank schonmal, hat mir viel geholfen. bin
> momentan am letzten schritt (glaub ich zumindest), weiss
> aber nicht wie ich den machen soll
> ich habe jetzt folgenes da stehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{m}{m+1}*[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m-1}*sin( [m+1]*x ) dx}[/mm]
Nun, da hast Du bestimmt die Integrale zur
Herleitung dieser Rekursionsformel berechnet.
>
> ich habe mich auch leider verschrieben, in der aufgabe
> heisst es:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm]
soll gezeigt werden,
> danke!!!
Gru0
MathePower
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also ich habe es genau so gemacht wie du beschrieben hast, auf den sinusterm die additionstheoreme angewandt und dann das 2. integral partiell integriert und damit komm ich genau auf dieses ergebnis. wie kommt man denn auf die [mm] \bruch{1}{m+1}? [/mm] könntest du vll deinen rechenweg reinstellen? wär sehr nett
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Hallo hummelhans,
> also ich habe es genau so gemacht wie du beschrieben hast,
> auf den sinusterm die additionstheoreme angewandt und dann
> das 2. integral partiell integriert und damit komm ich
> genau auf dieses ergebnis. wie kommt man denn auf die
> [mm]\bruch{1}{m+1}?[/mm]
Amwennndung des Integrals der Potenzfunktion mit vorangehender Substitution.
> könntest du vll deinen rechenweg reinstellen? wär sehr nett
Nun, wir haben
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx} [/mm]
[mm] =\integral_{}^{}}{\cos^{m+1}\left(x\right)\cdot{}\sin\left( \left(m+1\right)x \right) \ dx}+\integral_{}^{}{cos(x)^{m}*\sin\left(x\right)\cdot{}\cos\left(\left(m+1\right)x\right) \ dx} [/mm]
Jetzt integrieren wir das 2. Integral partiell:
[mm]\integral_{}^{}{cos(x)^{m}*\sin\left(x\right)\cdot{}\cos\left(\left(m+1\right)x\right) \ dx} [/mm]
[mm]= -\bruch{cos^{ \left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\cos\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm] [mm]- \integral_{}^{}-\bruch{cos^{\left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\left(-1\right)*\left(m+1\right)*\sin\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm]
[mm]= -\bruch{cos^{ \left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\cos\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm] [mm]- \integral_{}^{}\bruch{cos^{\left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\left(m+1\right)*\sin\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm]
[mm]= -\bruch{cos^{ \left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\cos\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm] [mm]- \integral_{}^{}{cos^{\left(m+1\right)}\left(x\right)*\sin\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm]
Damit wird
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)^{m}*sin( [m+2]*x ) dx} [/mm]
[mm] =\integral_{}^{}}{\cos^{m+1}\left(x\right)\cdot{}\sin\left( \left(m+1\right)x \right) \ dx}+\integral_{}^{}{cos(x)^{m}*\sin\left(x\right)\cdot{}\cos\left(\left(m+1\right)x\right) \ dx} [/mm]
[mm] =\integral_{}^{}}{\cos^{m+1}\left(x\right)\cdot{}\sin\left( \left(m+1\right)x \right) \ dx} -\bruch{cos^{ \left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\cos\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm] [mm]- \integral_{}^{}{cos^{\left(m+1\right)}\left(x\right)*\sin\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm]
[mm]=-\bruch{cos^{ \left(m+1\right)}\left(x\right)}{m+1}*\cos\left(\left(m+1\right)x\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mo 11.05.2009 | | Autor: | hummelhans |
ok, dann hab ich es endlich verstanden, vielen dank für die viele mühe!
gruss hummelhans
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