bestimmt divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 30.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_n), (b_n) [/mm] konvergente reelle Folgen mit [mm] b_n\ne 0 [/mm] für jedes [mm] n \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n = 0 [/mm].
Zeigen Sie:
Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n > 0 [/mm] und [mm] b_n > 0 [/mm] für fast alle [mm] n \in \IN [/mm], so ist [mm] ( \bruch{a_n}{b_n} )[/mm] bestimmt divergent gegen [mm] \infty [/mm].
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Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Der Grenzwert von [mm] b_n=0 [/mm], also ist [mm] b_n [/mm] eine Folge in der Form [mm] \bruch{1}{n} [/mm]. Der Grenzwert von [mm] a_n > 0 [/mm], das bedeutet für [mm] \bruch{(a_n)}{(b_n)}=\bruch{a_n}{\bruch{1}{n}} [/mm]. Der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] sei x, damit ergibt sich für den Quotienten [mm] \bruch{x}{\bruch{1}{n}}=xn [/mm] und das wird ja dann für jedes weitere Folgeglied immer grösser, die Folge ist also divergent gegen Unendlich.
Geht das ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Seien [mm](a_n), (b_n)[/mm] konvergente reelle Folgen mit [mm]b_n\ne 0[/mm]
> für jedes [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n = 0 [/mm].
>
> Zeigen Sie:
> Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n > 0[/mm] und [mm]b_n > 0[/mm] für
> fast alle [mm]n \in \IN [/mm], so ist [mm]( \bruch{a_n}{b_n} )[/mm] bestimmt
> divergent gegen [mm]\infty [/mm].
>
> Hallo,
> ich habe folgenden Ansatz:
> Der Grenzwert von [mm]b_n=0 [/mm], also ist [mm]b_n[/mm] eine Folge in der
> Form [mm]\bruch{1}{n} [/mm]
Das geht so nicht.
> Der Grenzwert von [mm]a_n > 0 [/mm], das
> bedeutet für [mm]\bruch{(a_n)}{(b_n)}=\bruch{a_n}{\bruch{1}{n}} [/mm].
> Der Grenzwert von [mm]a_n[/mm] sei x, damit ergibt sich für den
> Quotienten [mm]\bruch{x}{\bruch{1}{n}}=xn[/mm]
Das geht so auch nicht. Du kannst nicht einfach einen Grenzübergang und das andere so lassen.
> und das wird ja dann
> für jedes weitere Folgeglied immer grösser
Warum?
> die Folge ist also divergent gegen Unendlich.
... mit diesem "Beweis jedenfalls nicht".
Formal gesehen bedeutet "bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$" [/mm] ja nichts anderes, als dass man zu jedem [mm] $C\in\IR$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] finden kann, sodass [mm] $\frac{a_n}{b_n}>C$ [/mm] für alle $n>N$ gilt.
Du müsstest es irgendwie so machen: Sei [mm] $C\in\IR$ [/mm] beliebig (groß) vorgegeben. Sei $a>0$ der Grenzwert von [mm] $a_n$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $N_1$ [/mm] mit [mm] $a_n>a/2>0$ [/mm] für alle [mm] $n>N_1$. [/mm] Für [mm] $n>N_1$ [/mm] gilt dann jedenfalls schonmal [mm] $\frac{a_n}{b_n}>\frac{a}{2b_n}$. [/mm] Jetzt musst du benutzen dass [mm] $b_n$ [/mm] eine Nullfolge ist um zu zeigen, dass ab einem bestimmten $N$ alle Folgenglieder größer als C sind.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Fr 31.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Robert,
vielen Dank für Deine Hilfe !!
> Formal gesehen bedeutet "bestimmt divergent gegen [mm]\infty[/mm]"
> ja nichts anderes, als dass man zu jedem [mm]C\in\IR[/mm] ein
> [mm]N\in\IN[/mm] finden kann, sodass [mm]\frac{a_n}{b_n}>C[/mm] für alle [mm]n>N[/mm]
> gilt.
> Du müsstest es irgendwie so machen: Sei [mm]C\in\IR[/mm] beliebig
> (groß) vorgegeben. Sei [mm]a>0[/mm] der Grenzwert von [mm]a_n[/mm]. Dann gibt
> es ein [mm]N_1[/mm] mit [mm]a_n>a/2>0[/mm] für alle [mm]n>N_1[/mm]. Für [mm]n>N_1[/mm] gilt
> dann jedenfalls schonmal [mm]\frac{a_n}{b_n}>\frac{a}{2b_n}[/mm].
> Jetzt musst du benutzen dass [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge ist um zu
> zeigen, dass ab einem bestimmten [mm]N[/mm] alle Folgenglieder
> größer als C sind.
Kann ich sagen, wenn [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge ist, dann ist sie von der Form [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ?
Dann wäre [mm]\frac{a_n}{b_n}>\frac{a}{2b_n}=\bruch{a}{\bruch{2}{n}}=\bruch{n \cdot a}{2}[/mm] und das läuft gegen Unendlich.
Geht das so ?
Danke, Susanne.
>
> Gruß, Robert
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> Kann ich sagen, wenn [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge ist, dann ist sie
> von der Form [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ?
Hallo,
nein, das kannst Du nicht, und schon gar nicht, wenn Du nicht erklärst, was Du mit "von der Form" meinst.
Es gibt ja durchaus noch andere Nullfogen als [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] z.B. [mm] n^{4711}*e^{-n}.
[/mm]
Erinnere Dich erstmal, was es bedeutet, daß [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge ist:
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] findest Du ein passendes [mm] N_\varepsilon [/mm] so daß für alle [mm] n\ge N_\varepsilon [/mm] gilt: [mm] |b_n-0|=|b_n|<\varepsilon.
[/mm]
Sei jetzt [mm] C\in \IR_+ [/mm] beliebig.
Mit [mm] varepsilon:=\bruch{1}{C} [/mm] findest Du ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Fr 31.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
und vielen Dank für Deine Hilfe !
> Erinnere Dich erstmal, was es bedeutet, daß [mm](b_n)[/mm] eine
> Nullfolge ist:
>
> zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] findest Du ein passendes
> [mm]N_\varepsilon[/mm] so daß für alle [mm]n\ge N_\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]|b_n-0|=|b_n|<\varepsilon.[/mm]
>
>
> Sei jetzt [mm]C\in \IR_+[/mm] beliebig.
>
> Mit [mm]\varepsilon:=\bruch{1}{C}[/mm] findest Du ???
>
Bedeutet das dann:
[mm] \bruch{1}{b_n}> \bruch{1}{\varepsilon}=C [/mm], also ab einem [mm] n>N_0 [/mm] ist die Folge immer grösser als C ?
Aber ich muss ja den Quotienten betrachten:
[mm] \bruch{a_n}{b_n}>\bruch{a}{2b_n}=\bruch{a}{2C} [/mm]
Was bedeutet denn das ?
Danke, Susanne.
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> Guten Morgen Angela,
> und vielen Dank für Deine Hilfe !
>
> > Erinnere Dich erstmal, was es bedeutet, daß [mm](b_n)[/mm] eine
> > Nullfolge ist:
> >
> > zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] findest Du ein passendes
> > [mm]N_\varepsilon[/mm] so daß für alle [mm]n\ge N_\varepsilon[/mm] gilt:
> > [mm]|b_n-0|=|b_n|<\varepsilon.[/mm]
> >
> >
> > Sei jetzt [mm]C\in \IR_+[/mm] beliebig.
> >
> > Mit [mm]\varepsilon:=\bruch{1}{C}[/mm] findest Du ???
> >
> Bedeutet das dann:
> [mm]\bruch{1}{b_n}> \bruch{1}{\varepsilon}=C [/mm], also ab einem
> [mm]n>N_0[/mm] ist die Folge
[mm] (\bruch{1}{b_n})
[/mm]
> immer grösser als C ?
Ja.
> Aber ich muss ja den Quotienten betrachten:
> [mm]\bruch{a_n}{b_n}>\bruch{a}{2b_n}=\bruch{a}{2C}[/mm]
Den Quotienten guck Dir nochmal genauer an.
Tip: [mm] \bruch{a}{2b_n}=\bruch{a}{2}*\bruch{1}{b_n} [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Fr 31.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Den Quotienten guck Dir nochmal genauer an.
>
> Tip: [mm]\bruch{a}{2b_n}=\bruch{a}{2}*\bruch{1}{b_n}[/mm] ...
Weiter vorne steht:
Es gibt ein [mm] N_1 \in \IN [/mm] ab dem gilt für jedes [mm] n>N_1, a_n>\bruch{a}{2} [/mm]. Und es gilt [mm] \bruch{1}{b_n}>C [/mm], dann ist das Produkt ja noch grösser (vorausgesetzt a>2).
Also [mm] \bruch{a_n}{b_n} > C [/mm] für jedes beliebig grosse C, also unendlich.
So ok ?
Danke, Susanne.
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> Es gibt ein [mm]N_1 \in \IN[/mm] ab dem gilt für jedes [mm]n>N_1, a_n>\bruch{a}{2} [/mm].
> Und es gilt [mm]\bruch{1}{b_n}>C [/mm], dann ist das Produkt ja
Hallo,
es ist größer als [mm] \bruch{a}{2}*C, [/mm] und da C beliebig ist und [mm] \bruch{a}{2}\not=0 [/mm] konstant, somit größer als jede beliebige reelle Zahl.
Wenn Dir das nicht so 100%-tig gefällt, nimm einfach [mm] C\in \IR [/mm] beliebig und [mm] \varepsilon: \bruch{2}{a*C}.
[/mm]
Dann löst sich dieses "Problem" elegant in Luft auf.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Fr 31.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
VIELEN VIELEN DANK für Deine Hilfe !
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 31.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Eine weitere Möglichkeit:
Wir können [mm] a_n [/mm] > 0 und [mm] b_n [/mm] >0 für jedes n annehmen
Es gilt: [mm] (\bruch{b_n}{a_n}) [/mm] ist eine Nullfolge. Sei C>0 und [mm] \epsilon [/mm] := 1/C.
Es gibt ein N in [mm] \IN [/mm] mit: [mm] \bruch{b_n}{a_n}< [/mm] 1/C für n > N.
Also ist [mm] \bruch{a_n}{b_n} [/mm] > C für n>N
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Fr 31.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred !!
VIELEN DANK für diesen anderen Beweisweg - den habe ich auf Anhieb verstanden !
Aber auf den Trick mit dem Kehrwert wäre ich nicht selbst gekommen.
Danke, Susanne.
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