bestimmen der ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Do 10.07.2008 | | Autor: | lani |
Hallo...
ich habe drei Punkte gegeben
a=(1,1,2)
b=(13,1,2)
c=(1,10,5)
diese sollen ein dreieck aufspannen. und ich soll den schnittpunkt mit einer geraden berechnen.
nun habe ich dazu die ebenengleichung zu dem dreieck aufgestellt mit
e: a+ s*(b-a)+t*(c-a)
nun bin ich mir aber unsicher ob dies richtig ist..wir in dem fall nicht eine viereckige ebene aufgespannt statt einem dreieck??
danke für antworten
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> Hallo...
> ich habe drei Punkte gegeben
> a=(1,1,2)
> b=(13,1,2)
> c=(1,10,5)
>
> diese sollen ein dreieck aufspannen. und ich soll den
> schnittpunkt mit einer geraden berechnen.
>
> nun habe ich dazu die ebenengleichung zu dem dreieck
> aufgestellt mit
>
> e: a+ s*(b-a)+t*(c-a)
>
> nun bin ich mir aber unsicher ob dies richtig ist..wir in
> dem fall nicht eine viereckige ebene aufgespannt statt
> einem dreieck??
Hallo,
so, wie Du es machst, ist das richtig mit der Ebenengleichung.
Das ist die Gleichung der Ebene, in welcher das Dreieck liegt.
Eine Ebene ist nicht dreieckig oder viereckig. Sie ist ja unendlich groß, und ragt auf allen Seiten weit, weit übers Dreieck hinaus.
Als nächstes wirst Du nun den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden, die Du noch irgendwo unterm Ladentisch hast, berechnen.
Interessant könnte es nun sein, ob dieser Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks liegt oder nicht.
Das kannst Du dann an den Parametern s und t sehen, die Du für den Schnittpunkt ausrechnest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 10.07.2008 | | Autor: | lani |
danke für die antwort
genau das muss ich auch herausfinden!
die gerade is :t* (10,8,6) T
hab diese mit meiner ebenengleichung gleichgesetzt und einen schnittpunkt erhalten D(5,4,3)
nun hab ich diesen schritt noch nciht ganz verstanden wie ich herausbekomme ob der puntk innerhalb des dreiecks liegt
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> danke für die antwort
> genau das muss ich auch herausfinden!
> die gerade is :t* (10,8,6) T
>
> hab diese mit meiner ebenengleichung gleichgesetzt und
> einen schnittpunkt erhalten D(5,4,3)
>
> nun hab ich diesen schritt noch nciht ganz verstanden wie
> ich herausbekomme ob der puntk innerhalb des dreiecks liegt
Hallo,
nachgerechnet hab ich Deinen Punkt nicht.
Du brauchst jetzt die Parameter s und t Deiner Ebenengleichung, mit der Du Deinen Schnittpunkt bekommst.
Sind s und t beide zwischen 0 und 1 und ist [mm] 0\le s+t\le [/mm] 1, so liegt der Punkt im Dreieck.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 10.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angela
> > danke für die antwort
> > genau das muss ich auch herausfinden!
> > die gerade is :t* (10,8,6) T
> >
> > hab diese mit meiner ebenengleichung gleichgesetzt und
> > einen schnittpunkt erhalten D(5,4,3)
> >
> > nun hab ich diesen schritt noch nciht ganz verstanden wie
> > ich herausbekomme ob der puntk innerhalb des dreiecks liegt
>
> Hallo,
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> nachgerechnet hab ich Deinen Punkt nicht.
>
> Du brauchst jetzt die Parameter s und t Deiner
> Ebenengleichung, mit der Du Deinen Schnittpunkt bekommst.
>
> Sind s und t beide zwischen 0 und 1 und ist [mm]0\le s+1\le[/mm] 1,
> so liegt der Punkt im Dreieck.
Du meinst wahrscheinlich [mm] 0\le s+\red{t}\le1, [/mm] oder?
@lani: Ausserdem ist es ungünstig, die Parameter der Ebene auch für die Geradengleichung zu verwenden, ich hoffe mal, du hast das bei der Schnittpunktrechnung gemacht.
> Gruß v. Angela
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 10.07.2008 | | Autor: | lani |
nein hab ich nicht ;)
aber warum zwischen 0 und 1??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Do 10.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
> nein hab ich nicht ;)
Dann solltest du das bei deiner Berechnung noch nachholen.
Du hast also die Ebene:
[mm] E:\vec{x}=\vec{a}+s*\overrightarrow{AB}+t*\overrightarrow{AC}
[/mm]
und die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{p}+\red{r}*\vec{u}
[/mm]
Dann bekommst du folgende Gleichung, aus der du ein Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen bekommst.
[mm] \vec{p}+\red{r}*\vec{u}=\vec{a}+s*\overrightarrow{AB}+t*\overrightarrow{AC}
[/mm]
>
> aber warum zwischen 0 und 1??
Die Parameter t ud s, die du für den Schnittpunkt bekommst, geben dir ja an, wieweit ich die Spannvektoren strecken/stauchen muss, um auf den Schnittpunkt zu kommen.
Mit [mm] 0\le s\le1 [/mm] und [mm] 0\le t\le1 [/mm] verhindere ich, dass ich über die Eckpunkte B bzw c herauskomme, mit [mm] 0\le s+t\le1 [/mm] verhindere ich, dass ich über die Strecke [mm] \overline{BC} [/mm] "herausrutsche".
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Do 10.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela
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> > > danke für die antwort
> > > genau das muss ich auch herausfinden!
> > > die gerade is :t* (10,8,6) T
> > >
> > > hab diese mit meiner ebenengleichung gleichgesetzt und
> > > einen schnittpunkt erhalten D(5,4,3)
> > >
> > > nun hab ich diesen schritt noch nciht ganz verstanden wie
> > > ich herausbekomme ob der puntk innerhalb des dreiecks liegt
> >
> > Hallo,
> >
> > nachgerechnet hab ich Deinen Punkt nicht.
> >
> > Du brauchst jetzt die Parameter s und t Deiner
> > Ebenengleichung, mit der Du Deinen Schnittpunkt bekommst.
> >
> > Sind s und t beide zwischen 0 und 1 und ist [mm]0\le s+1\le[/mm] 1,
> > so liegt der Punkt im Dreieck.
>
> Du meinst wahrscheinlich [mm]0\le s+\red{t}\le1,[/mm] oder?
Wieso wird die Summe von s und t betrachtet?
Es müsste doch [mm]0\le s\le1[/mm] UND [mm]0\le t\le1[/mm] gelten.
Gruß Abakus
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> @lani: Ausserdem ist es ungünstig, die Parameter der Ebene
> auch für die Geradengleichung zu verwenden, ich hoffe mal,
> du hast das bei der Schnittpunktrechnung gemacht.
>
> > Gruß v. Angela
>
> Marius
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> > > Sind s und t beide zwischen 0 und 1 und ist [mm]0\le s+1\le[/mm] 1,
> > > so liegt der Punkt im Dreieck.
> >
> > Du meinst wahrscheinlich [mm]0\le s+\red{t}\le1,[/mm] oder?
> Wieso wird die Summe von s und t betrachtet?
> Es müsste doch [mm]0\le s\le1[/mm] UND [mm]0\le t\le1[/mm] gelten.
> Gruß Abakus
Hallo,
ja, natürlich müssen, wie ich ja auch schrieb, s und t zwischen 0 und 1 sein.
Aber dies allein reicht nicht, denn diese Bedingung liefert doch die Punkte des von den beiden Richtungsvektoren aufgespannten Parallelogramms.
Es geht hier aber ums Dreieck, und daher muß zusätzlich die Summe zwischen 0 und 1 liegen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Do 10.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
> > > Sind s und t beide zwischen 0 und 1 und ist [mm]0\le s+1\le[/mm] 1,
> > > so liegt der Punkt im Dreieck.
> >
> > Du meinst wahrscheinlich [mm]0\le s+\red{t}\le1,[/mm] oder?
> Wieso wird die Summe von s und t betrachtet?
> Es müsste doch [mm]0\le s\le1[/mm] UND [mm]0\le t\le1[/mm] gelten.
> Gruß Abakus
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Nein,d as alleine reicht nicht, siehe meiner Skizze hier
Marius
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