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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1}{x*arctan(x) dx} [/mm] |
Hi,
ich bin da zuerst mit partieller Integration rangegangen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{x*arctan(x) dx} [/mm] = [mm] arctan(x)\frac{x^2}{2} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{x^2}{2}\frac{1}{1+x^2}dx}
[/mm]
aber hier sehe ich kein Ende...
Dann habe ich probiert arctan zu substituieren, aber das klappt bei mir nicht ganz:
u:= arctan(x) => du = [mm] \frac{1}{1+x^2} [/mm] dx <=> dx = [mm] (1+x^2)*du [/mm]
jetzt muss ich aber das [mm] x^2 [/mm] in der Klammer ersetzen durch u, wie das geht wenn u= arctan(x) ist, verstehe ich nicht ganz?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Partielle Integration ist gut. Wähle jedoch:
$$u \ := \ x$$
$$v' \ = \ [mm] \arctan(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi,
dann müsste ich ja arctan(x) integrieren, was ein sehr langer Term ist:
x arctan(x) [mm] -0,5*ln(x^2+1) [/mm] , damit soll es leichter sein?
Snafu
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Hallo, auch deine Variante führt zum Ziel, zu knacken ist noch
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2} dx}-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}*arctan(x)
[/mm]
also
[mm] \bruch{1}{2}*x^{2}*arctan(x)-(\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}*arctan(x))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*x^{2}*arctan(x)-\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}*arctan(x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[(x^{2}+1)*arctan(x)-x]
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffi,
> Hallo, auch deine Variante führt zum Ziel, zu knacken ist
> noch
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}} dx}[/mm]
> ...
es ist nicht böse gemeint, aber:
Du solltest Dir die Verwendung des [mm] $=\;$-Zeichens [/mm] zunutze machen, denn es macht die Rechnung wesentlich überschaubarer und wirklich sparen tust Du nichts, wenn Du es nicht verwendest:
[mm] $$\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}} dx}$$
[/mm]
[mm] $$\red{=}\integral_{}^{}\left({\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}}\right) [/mm] dx}$$
[mm] $$\red{=}\ldots$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Hi Steffi,
mir ist ein Schritt unklar:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}} dx}
[/mm]
wie kriegst du das [mm] x^2 [/mm] weg?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Hi Steffi,
>
> mir ist ein Schritt unklar:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}} dx}[/mm]
> wie
> kriegst du das [mm]x^2[/mm] weg?
Hier wurde eine "künstliche Null" hinzugefügt:
[mm]\bruch{x^{2}}{2+2x^{2}}=\bruch{x^{2}\blue{+1-1}}{2+2x^{2}}=\bruch{x^{2}+1}{2+2x^{2}}-\bruch{1}{2+2x^{2}}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+2x^{2}}[/mm]
>
> Snafu
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 23.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Danke!.
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Hallo MathePower,
> Hier wurde eine "künstliche Null" hinzugefügt:
ich finde "nahrhafte Null" besser 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
*sign*
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