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| Aufgabe | | Es sei [mm] (f_{n}) [/mm] eine Folge beschränkter Funktionen auf [0;1] die gleichmäßig gegen f : [0; 1] -> R konvergiert. Zeigen Sie, dass f beschrankt ist |
Hey
Also mein Ansätz wäre hier, [mm] \epsilon [/mm] :=1 zu wählen. Durch die gleichmäßige Stetigkeit folgt:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|<1
[/mm]
die gl. Konvergenz gibt mir nun ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] sodass gilt:
[mm] |f_{n_0}(x)-f(x)|<1
[/mm]
f weicht ja nun höchstens um 1 ab und ist daher auch beschränkt, kann man dies so begründen?
LG
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Hiho,
erstmal: Mit so lapidarem Aufschreiben wird das nicht wirklich was:
> die gl. Konvergenz gibt mir nun ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] sodass gilt: [mm]|f_{n_0}(x)-f(x)|<1[/mm]
für ein x, für alle x, nur für die ungeraden oder rationalen?
Ein bisschen genauer solltest du da schon begründen.
Deine Idee ist richtig, dein Aufschrieb aber, nunja, unsauber.
Gruß,
Gono.
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Hey
für alle x [mm] \in [/mm] {I} = [mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon [/mm] müsste stimmen oder?
LG
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Hiho,
> für alle x [mm]\in[/mm] {I} = [mm]|f_{n}(x)-f(x)|< \epsilon[/mm] müsste stimmen oder?
Du meinst das richtige, aber die Notation!!
Wie kann denn ein All-Quantor mit einer Aussage durch ein Gleichheitszeichen verbunden sein???
Wenn du schreibst [mm] $x\in \{I\}$, [/mm] dann muss x ja zwangsweise I sein.... Um das I gehören keine Mengenklammern.
Was ist I überhaupt???
Hei hei hei
Gruß,
Gono.
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Hey
tut mir leid. das sollten auch keine Mengenklammern sein. I ist natürlich der Intervall
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:49 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Es gibt also ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
$ [mm] |f_{N}(x)-f(x)|<1 [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] f_N [/mm] ist beschränt, also ex. ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit : [mm] |f_N(x)| \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
Zeige nun Du:
|f(x)| [mm] \le [/mm] c+1 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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Hey
ich weiß ja das f(x) [mm] \in \IR. [/mm] Wenn ich nun c [mm] \in \IN [/mm] wähle, könnte ich doch mit dem Archimedischen Axiom die Ungleichung begründen, oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ich weiß ja das f(x) [mm]\in \IR.[/mm] Wenn ich nun c [mm]\in \IN[/mm]
> wähle, könnte ich doch mit dem Archimedischen Axiom die
> Ungleichung begründen, oder?
Das ist doch Unsinn!
Wir haben:
$ [mm] |f_{N}(x)-f(x)|<1 [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [0,1]
$ [mm] f_N [/mm] $ ist beschränt, also ex. ein c $ [mm] \ge [/mm] $ 0 mit : $ [mm] |f_N(x)| \le [/mm] $ c für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [0,1]
Damit ist
|f(x)|= [mm] |f(x)-f_N(x)+f_N(x)|
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
>
>
>
> LG
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hey
okay also:
[mm] |f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)|\le |f(x)-f_{n}(x)+c|\le |f(x)-f_{n}(x)|+|c|\le [/mm] (wegen gleichmäßiger Konvergenz) [mm] \epsilon+c
[/mm]
hier komme ic allerdings nicht mehr weiter mit den Abschätzungen...
LG
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Hiho,
die erste Umformung ist Blödsinn. Aus $f [mm] \ge [/mm] c$ folgt nicht notwendigerweise »|g-f| [mm] \le [/mm] |g-c|$ aber gut....
Die zweite Umformung macht schon mehr Sinn, also ERST Dreiecksungleichung, DANN abschätzen.
> (wegen gleichmäßiger Konvergenz) [mm]\epsilon+c[/mm] hier komme ic allerdings nicht mehr weiter mit den Abschätzungen...
Du hast doch selbst [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] vorgeschlagen!
Desweiteren gelten die Abschätzungen ja auch erstmal nur für dein bereits gefundenes N und NICHT für alle n!
Gruß,
Gono.
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Hey
okax ich habe es dann jetzt hoffentlich. Also:
[mm] f(x)=|f(x)-f_{N}(x)+f_{N}(x)|\le |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)|< 1+|f_{N}(x)|\le [/mm] 1+c
kann ich dies nun auf alle n [mm] \in \IN [/mm] beziehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> okax ich habe es dann jetzt hoffentlich. Also:
> [mm]f(x)=|f(x)-f_{N}(x)+f_{N}(x)|\le |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)|< 1+|f_{N}(x)|\le[/mm]
> 1+c
Es sollte mit |f(x)| beginnen ...
> kann ich dies nun auf alle n [mm]\in \IN[/mm] beziehen?
Wozu ??? Du hast doch |f(x)| [mm] \le [/mm] 1+c für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
>
> LG
>
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