matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisbeschränkt,sup, inf, max, min
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Funktionalanalysis" - beschränkt,sup, inf, max, min
beschränkt,sup, inf, max, min < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

beschränkt,sup, inf, max, min: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Mo 05.08.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Ist [mm] f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2 [/mm] beschränkt?

Bestimme (falls existent) [mm] sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x) [/mm]


Hallo, hab mir die []Funktion mit symbolab angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.

Liege ich richtig, dass [mm] sup f(x)=0 [/mm] und [mm] inf f(x)=1 [/mm] ist. [mm] min f(x) [/mm] und [mm] max f(x) [/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge gehören?

Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen Tipp dankbar.




        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 05.08.2019
Autor: hase-hh

Moin!

Also Beschränkheit meint, dass es eine obere bzw. eine untere Schranke gibt.

1. Falls  D = [mm] \IR [/mm]  

Es gibt untere Schranken und sogar eine größte untere Schranke  inf(f(x)) = 0,
aber keine obere Schranken, also auch keine kleinste obere Schranke  sup(f(x)).

D.h. hier wäre f(x)  nach unten beschränkt (nach oben unbeschränkt).


2. Falls  D = ] -1; 1 [  
--- Wenn ich es richtig verstanden habe ist dir dieses Intervall vorgegeben.  

Dann gibt es sowohl untere Schranken, auch eine größte untere Schranke inf(f(x)) = 0   => f(x)  ist nach unten beschränkt,

als auch obere Schranken, die kleinste ober Schranke sup(f(x)) = 1  =>  f(x) ist nach oben beschränkt.


In diesem Fall gibt es ein Minimum min(f(x) ) = 0  aber m.E. kein(eindeutiges) Maximum.





Bezug
        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mo 05.08.2019
Autor: tobit09

Hallo bondi,


ergänzend zur vorhandenen Antwort:


Es heißt in der Aufgabenstellung sicherlich z.B. [mm] $\sup_{x\in]-1,1[}f(x)$. [/mm]

Das ist eine Schreibweise für [mm] $\sup\;\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}$. [/mm]

Es empfiehlt sich hier, zunächst [mm] $\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}$ [/mm] zu bestimmen (das sogenannte Bild von f).

Es gilt [mm] $\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}=[0,1[$. [/mm]


Zur Beschränktheit empfehle ich dir, zunächst eure Definition der Beschränktheit einer Funktion nachzuschlagen.

Wenn du nähere Infos benötigst, solltest du diese Definition hier posten, damit man passend zu eurer Definition antworten kann.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 Sa 10.08.2019
Autor: bondi

Hi, hier die Definitionen:

[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt offen, falls [mm] \forall x \in D \quad \exists \thinspace \epsilon > 0 [/mm] mit [mm] ] \thinspace x-\epsilon, x+\epsilon \thinspace [ \thinspace \in D [/mm]

[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt abgeschlossen, falls [mm] \IR \thinspace \backslash \thinspace F [/mm] offen ist.

[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt beschränkt, falls [mm] \exists \thinspace \M > 0 [/mm], mit [mm] \vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D [/mm]

[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt kompakt, falls D abgeschlossen und beschränkt.

Bezug
                        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Sa 10.08.2019
Autor: fred97


> Hi, hier die Definitionen:
>  
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt offen, falls [mm]\forall x \in D \quad \exists \thinspace \epsilon > 0[/mm]
> mit [mm]] \thinspace x-\epsilon, x+\epsilon \thinspace [ \thinspace \in D[/mm]

Das ist  OK

>  
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt abgeschlossen, falls [mm]\IR \thinspace \backslash \thinspace F[/mm]
> offen ist.

Du meinst  sicher [mm] \IR \setminus [/mm] D


>  
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt beschränkt, falls [mm]\exists \thinspace \M > 0 [/mm],


.........   [mm] \exists [/mm] M > 0....


> mit [mm]\vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D[/mm]
>  
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt kompakt, falls D abgeschlossen und
> beschränkt.

So ist es.

Bezug
                        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:39 So 11.08.2019
Autor: tobit09

Hallo bondi,


> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt beschränkt, falls [mm]\exists \thinspace M > 0 [/mm],
> mit [mm]\vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D[/mm]

Das ist die Definition, wann eine TEILMENGE [mm] $D\subseteq\IR$ [/mm] beschränkt heißt.
Für die vorliegende Aufgabe benötigen wir aber eure Definition, wann eine FUNKTION [mm] $f\colon D\to\IR$ [/mm] beschränkt heißt.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 30.06.2020
Autor: JulieFlynn

Ich liebe diesen Thread> Ist [mm]f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2[/mm] beschränkt?
>  
> Bestimme (falls existent) [mm]sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x)[/mm]
>  
> Hallo, hab mir die
> []Funktion mit symbolab
> angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil
> der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.
>  
> Liege ich richtig, dass [mm]sup f(x)=0[/mm] und [mm]inf f(x)=1[/mm] ist. [mm]min f(x)[/mm]
> und [mm]max f(x)[/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge
> gehören?
>  
> Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen
> Tipp dankbar.
>  
>
>  


Bezug
                
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Di 30.06.2020
Autor: fred97


> Ich liebe diesen Thread> Ist [mm]f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2[/mm]
> beschränkt?

Ja, [mm] 0\le [/mm] f (x) [mm] \le [/mm] 1 für alle  x [mm] \in]1,1 [/mm]  [

>  >  
> > Bestimme (falls existent) [mm]sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x)[/mm]
>  
> >  

> > Hallo, hab mir die
> >
> []Funktion mit symbolab
> > angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil
> > der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.
>  >  
> > Liege ich richtig, dass [mm]sup f(x)=0[/mm] und [mm]inf f(x)=1[/mm] ist. [mm]min f(x)[/mm]
> > und [mm]max f(x)[/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge
> > gehören?
>  >  
> > Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen
> > Tipp dankbar.
>  >  
> >
> >  

>  


Bezug
        
Bezug
beschränkt,sup, inf, max, min: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Di 30.06.2020
Autor: HJKweseleit

Machen wir's mal ganz einfach. Die Fkt. f beschreibt die Normalparabel. Dazu brauchst du kein symbolab, weil du in der Schule aufgepasst hast und den Graphen kennst.

Nun fängt der Graph aber bei x = -1 (ausschließlich) an und hört bei x = 1 (ausschließlich) auf, das Ganze ist eine Schüssel ohne die beiden oberen (besser: linken und rechten) Randpunkte.

Beschränktheit: Sowohl nach oben als auch nach unten, alle y-Werte sind z.B. größer als - 5 000 und kleiner als 5 000.
Ich habe hier extra zwei Werte genommen, die ganz weit weg vom Graphen liegen, damit du merkst, dass Nähe hier keine Rolle spielt.

Die kleinste obere Schranke, also [mm] sup_f, [/mm] ist 1, denn zu jedem kleineren Wert findest du einen größeren Funktionswert. Beispiel: zu [mm] y_S=0,999 [/mm] ist f(0,9995)=0,99900025 größer.

Die größte untere Schranke, also [mm] inf_f, [/mm] ist 0.

0 Wird auch angenommen, denn f(0)=0. Daher ist 0 das Minimum.

1 liegt auf den Randpunkten und wird nicht angenommen, alle anderen Fkt.-Werte sind kleiner, deshalb besitzt die Funktion kein Maximum.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]