beliebig oft differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Die Funktion [mm] f:\IR\to \IR [/mm] mit f(x)= [mm] e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] für x>0 und f(x)=0 für [mm] x\le [/mm] 0 ist beliebig oft differenzierbar. |
hmmm....das sieht verdächtig nach Anwedung der Taylorformel aus oder?
Wenn man das bloß erstmal verstehen kann...aber vielleicht klappt das nach angela ihrer Erklärung..
Also Taylor anwenden bei f(x)= [mm] e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] UND bei f(x)=0??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Die Funktion [mm]f:\IR\to \IR[/mm] mit f(x)=
> [mm]e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] für x>0 und f(x)=0 für [mm]x\le[/mm] 0 ist
> beliebig oft differenzierbar.
> hmmm....das sieht verdächtig nach Anwedung der
> Taylorformel aus oder?
Nein. Taylor kannst Du nur anwenden, wenn Du weißt, dass f gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften hat. Dass f beliebig oft differenzierbar ist, sollst Du zeigen !!
> Wenn man das bloß erstmal verstehen kann...aber
> vielleicht klappt das nach angela ihrer Erklärung..
>
> Also Taylor anwenden bei f(x)= [mm]e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] UND bei
> f(x)=0??
Nein, siehe oben.
Fangen wir mal sachte an: zeige zuerst, dass f auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist und berechne f'(x) für jedes x.
Tipp: für x>0 und x<0 sollte das kein Problem sein. Es bleibt also im wesentlichen die Untersuchung für x=0
FRED
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Ich habe mich bei der Frage mal einer kleinen Definition von Wikipedia bedient, wonach Verkettungen von analytischen (beliebig oft differenzierbaren) Funktionen auch beliebig oft differenzierbar sind. Dazu f(x) = g(h(x)) mit g(x)= [mm] e^{x} [/mm] und [mm] h(x)=-\bruch{1}{10}
[/mm]
Dann für beide Funktionen die n-ten Ableitungen entwickeln.
Darf ich das so machen oder muss ich das mit x<0 etc von neu anfangen?
Danke schon mal =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei h(x) hast du dich wohl verschrieben?
sonst ist dein argument richtig, allerdings nur, wenn ihrs in der Vorlesung habt, oder dus beweisen kannst. wiki ist oft ne gute Quelle für ne Idee, aber als Beweis nicht zitierbar.!
aber bei x=0 ist 1/x ja das problem, weder stetig, noch differenzierbar!
Also konzentrier dich auf x=0 alles andere ist unproblematisch.
Gruss leduart
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[mm] f(x)=e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
f´(x)= [mm] -e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
das gilt sowohl für alle x<0 und x>o
für x=0 ist die bedingung nicht erfüllt! Durch Null teilen ist nicht erlaubt!
und für f(x)=0 kannman ja nichts zeigen oder ableiten..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
> f´(x)= [mm]-e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
Nein !! Schon mal was von der Kettenregel gehört ?
>
> das gilt sowohl für alle x<0 und x>o
Nö !
>
> für x=0 ist die bedingung nicht erfüllt!
Welche ?
> Durch Null
> teilen ist nicht erlaubt!
Ja, ja, das wissen wir
>
> und für f(x)=0 kannman ja nichts zeigen oder ableiten..
Die Funktion ist in x = 0 differenzierbar !
untersuche [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
FRED
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f´(x)= [mm] \bruch{1}{x^2}*e^{-\bruch{1}{x}}
[/mm]
ist die erste Ableitung. Habe mich wohl etwas vertan.
Aber das mit f(x)=0 verstehe ich noch nicht ganz. auch nicht so richtig mit deinem Hinweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 28.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> f´(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}*e^{-\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> ist die erste Ableitung. Habe mich wohl etwas vertan.
>
> Aber das mit f(x)=0 verstehe ich noch nicht ganz. auch
> nicht so richtig mit deinem Hinweis.
Wie ist denn die Ableitung einer Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] definiert ?
FRED
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Das mit der Stelle [mm] x_0 [/mm] bezieht sich auf den Differenzquotienten. Eine Funktion ist an der Stelle [mm] x_o [/mm] ihres Definitionsbereiches differenzierbar, wenn es eine reelle zahl a gibt und eine Funktion f.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann schreib den mal für deine fkt hin. denk dran, dass laut Def f(0)=0
2. welche Eigenschaften von [mm] e^x [/mm] bzw [mm] e^{-x} [/mm] für x gegen [mm] \infty [/mm] kennst du? (statt x gegen 0, kannst du 1/x gegen [mm] \infty [/mm] betrachten.)
Gruss leduart
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also wenn [mm] x\to \infty [/mm] geht bei [mm] e^x [/mm] dann geht der Grenzwert gegen [mm] \infty
[/mm]
negative Zahlen sind für [mm] e^x [/mm] nicht zugelassen, also müssen für [mm] e^{-x} [/mm] die x-Werte negativ sein.
der Differentialquotien für f(x)=0 lautet dann
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{0-0}{0-0}= [/mm] 0
ich bin einfach zu blöd zu Mathe, ich krieg es echt nicht hin...gebs auf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also wenn [mm]x\to \infty[/mm] geht bei [mm]e^x[/mm] dann geht der Grenzwert
> gegen [mm]\infty[/mm]
>
> negative Zahlen sind für [mm]e^x[/mm] nicht zugelassen,
wie kommst du darauf?
also
> müssen für [mm]e^{-x}[/mm] die x-Werte negativ sein.
nein!
[mm] e^x [/mm] ist für alle x definiert, [mm] e^{-x} [/mm] ist auch für alle x definiert. vielleicht siehst du dir die 2 mal in nem plot an?
> der Differentialquotien für f(x)=0 lautet dann
Du meinst der Differentialquotient von f an der Stelle 0!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{0-0}{0-0}=[/mm] 0
Nein ! er lautet
[mm][mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{e^{-1/x}-0}{x-0}=?
[/mm]
beachte hier meinen Rat im letzten post.
> ich bin einfach zu blöd zu Mathe, ich krieg es echt nicht
> hin...gebs auf
nicht zu blöd, oder das weiss ich nicht, aber zu hastig. mathe braucht denken, und denken braucht Zeit, - und auch mal ne Denkpause, oft ist es besser, mal um den Block zu gehen und den Kopf wieder frei zu machen, statt zu verbiestert vor ner Aufgabe zu sitzen!
Gruss leduart
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[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{e^{-1/x}-0}{x-0}=
[/mm]
x darf nicht 0 sein, denn 1/0 ist nicht erlaubt. daher nutze ich deinen Tipp, dass 1/x gegen [mm] \infty [/mm] geht....dann ist der Grenzwert [mm] \bruch{-\infty}{\infty}, [/mm] also vermutlich gegen 0
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Hallo Mathegirl,
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> [mm] $\limes_{x\rightarrow\ \red{x_0}}\bruch{e^{-1/x}-0}{x-0}=$
[/mm]
Hier sollte [mm] $\lim\limits_{x\downarrow \red{0}}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}$ [/mm] stehen
>
> x darf nicht 0 sein, denn 1/0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du auf diesen Wert?
Beim Grenzübergang [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ ergibt sich der unbestimmte Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
> ist nicht erlaubt. daher
> nutze ich deinen Tipp, dass 1/x gegen [mm]\infty[/mm] geht....dann
> ist der Grenzwert [mm]\bruch{-\infty}{\infty},[/mm] also vermutlich
> gegen 0
Puh, das ist ne gewagte Schlussfolgerung ..
Mache es doch mal systematisch:
Substituiere [mm] $u:=\frac{1}{x}$, [/mm] also dann auch [mm] $x=\frac{1}{u}$
[/mm]
Dann ist [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ gleichbedeutend mit [mm] $u\to +\infty$
[/mm]
Und du hast [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=\lim\limits_{u\to +\infty}\frac{e^{-u}}{\frac{1}{u}}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{u\to +\infty}\frac{u}{e^{u}}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\infty}{\infty}$, [/mm] also ein unbestimmter Ausdruck.
Nun wende einmal de l'Hôpital an und du kommst auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ich versteh das mit dem Grenzübergang nicht!!! ich verstehe grad gar nichts mehr!! ich gebe es jetzt auf, es hat keinen Sinn mehr..
Auch mit der Substitution komme ich grad nicht mit.
ich kann nur l´Hospital anwenden bei [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{f´(x)}{g´(x)}= \bruch{\bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x^2}}{1}
[/mm]
falls das überhaupt stimmt, ich bezweifle es....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Was ist das Problem? Schachuzipus hat es Dir doch haarklein vorgerechnet!
Man muss also nur lesen und gegebene Tipps beherzigen!
Also:
Wie lautet nun der Grenzwert [mm] $\limes_{u\rightarrow+\infty}\bruch{u}{e^u}$ [/mm] ?
Hierbei handelt es sich offensichtlich um einen Grenzwert / unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] . Damit kannst Du diesen Grenzwert schnell mit  de l'Hospital ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:24 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
ja mag sein, das es einfach ist, aber wenn man es nicht versteht, dann ist es alles andere als einfach
[mm] \bruch{f(u)}{g(u)}=\bruch{u}{e^u}
[/mm]
[mm] \bruch{f'(u)}{g'(u)}=\bruch{u'}{u*e^u}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Liest Du Dir Deine eigenen Artikel eigentlich nochmal durch vor dem Absenden?
Ich spiele hier auch auf die [Vorschau]-Option an.
Bitte sieh Dir Deinen letzten Artikel nochmal in in Ruhe an und korrigiere den offensichtlichen Unsinn, denn Du dort verzapft hast.
Was haben denn z.B. $f(x)_$ u.ä. dort verloren, wenn rechts nur die Variable $u_$ auftritt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Was ist denn nun die Ableitung von $u_$ ? Da kann man doch nicht einfach $u'_$ hinschreiben.
Und wie lautet die Ableitung der "normalen" e-Funktion [mm] $e^u$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
ich kann es echt nicht und kriege es irgendwie nicht hin. Danke für eure Mühe und Hilfe, aber ich gebe es auf.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 28.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ich hänge auch an der Aufgabe und habe den Thread durchgearbeitet.
Wenn ich nun Hospital anwende erhalte ich ja
[mm] \frac{1}{e^{u}}
[/mm]
und wenn ich nun u nach + unendlich gehen lasse
ist der Grenzwert 0
Meine Frage ist wie beweise ich das x von oben nach 0?
edit: entschuldigung ich meinte natürlich von unten
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Hallo Napkin,
> Ich hänge auch an der Aufgabe und habe den Thread
> durchgearbeitet.
>
> Wenn ich nun Hospital anwende erhalte ich ja
>
> [mm]\frac{1}{e^{u}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und wenn ich nun u nach + unendlich gehen lasse
>
> ist der Grenzwert 0
Heureka!
>
>
> Meine Frage ist wie beweise ich das x von oben nach 0?
Stelle den Differenzenquotienten auf, das steht doch schon im thread irgendwo.
Wie sieht der aus und wie damit der GW für [mm] $x\uparrow [/mm] 0$ ??
>
> edit: entschuldigung ich meinte natürlich von unten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ups ja das sollte dann wohl der hier sein.
$ [mm] \lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{0-0}{0-0}= [/mm] 0 $
Ich habe da immer noch ein extremes Verständnisproblem, haben wir nun insgesamt gezeigt, dass f(x) für x=0 intergierbar ist?
oder fehlt noch etwas?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 28.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Entschuldigung ich meinte natürlich differenzierbar und nicht integrierbar, ich verwechsel die beiden immer.
Mein Problem ist wir haben ja nun bewiesen, das wir die Ableitung von f(x) an der Stelle 0 bilden können(dürfen), aber haben wir auch bewiesen, dass wir die nte Ableitung weiter an der Stelle 0 ableiten können?
Und allgemein ist mir immer noch nicht klar wie ich das für $x>0$ und $x<0$beweise
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, die nte Ableitung hast du noch nicht bewiesen. du musst noch zeigen, dass [mm] 1/x^m*e^{-1/x} [/mm] auch differenzierbar bei 0 ist. aus solchen Summanden setzen sich nämlich alle Ableitungen zusammen.
Für [mm] x\le0 [/mm] ist ja f(x)=0 also existieren alle GW von links sowieso, alle differenzenquotienten mit x<0 sind 0.
dein GW für oben gilt doch, wenn alle x>0 sind, deshalb ist es der Gw von rechts.
(für die nte Ableitung muss man den L'Hopital n mal benutzen, aber da kann man usw. sagen oder durch Induktion zeigen.
Gruss leduart
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
