bedingte Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Merli |
Liebe MatheRaum-Mitglieder,
ich arbeite gerade meine Mitschrift zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie durch und da bin ich auf eine Bemerkung gestoßen, die mir nicht klar ist:
Es sei [mm](\Omega, \mathcal A, \mathbb{P})[/mm] W-Raum, [mm]\mathcal F \subseteq \mathcal A[/mm] [mm]\sigma[/mm]-Agebra und [mm]\mathbb{E}(\cdot |\mathcal F): L^1(\mathcal A)\to L^1(\mathcal F)[/mm] die bedingte Wahrscheinlichkeit bzgl. [mm]\mathcal F[/mm].
Nun haben wir behauptet, dass die Abbildung [mm]A\mapsto \mathbb{P}(A|\mathcal F):= \mathbb{E}(1_A|\mathcal F)[/mm] eine Zufallsvariable ist.
Das verstehe ich jedoch nicht.
Damit die Abbildung eine Zufallsvariable ist, muss doch u.a. [mm]A\in\Omega[/mm] sein, aber hier ist [mm]A\in\mathcal A[/mm].
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
Merli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Liebe MatheRaum-Mitglieder,
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> ich arbeite gerade meine Mitschrift zur Vorlesung
> Wahrscheinlichkeitstheorie durch und da bin ich auf eine
> Bemerkung gestoßen, die mir nicht klar ist:
>
> Es sei [mm](\Omega, \mathcal A, \mathbb{P})[/mm] W-Raum, [mm]\mathcal F \subseteq \mathcal A[/mm]
> [mm]\sigma[/mm]-Agebra und [mm]\mathbb{E}(\cdot |\mathcal F): L^1(\mathcal A)\to L^1(\mathcal F)[/mm]
> die bedingte Wahrscheinlichkeit bzgl. [mm]\mathcal F[/mm].
> Nun
> haben wir behauptet, dass die Abbildung [mm]A\mapsto \mathbb{P}(A|\mathcal F):= \mathbb{E}(1_A|\mathcal F)[/mm]
> eine Zufallsvariable ist.
Wahrscheinlich ist gemeint:
für jedes feste [mm] $A\in \mathcal [/mm] A$ ist $P(A\ |\ [mm] \mathcal [/mm] F)$ eine Zufallsvariable.
Anschaulicher sieht der bedingte Erwartungswert oft so aus: $E(Z\ |\ X)$, d.h. welchen Wert erwarte ich für Z, in Abhängigkeit von X
also gilt $E(Z\ |\ X)=f(X)$, der bedingte Erwartungswert ist eine Funktion von X. Und f(X) ist natürlich wieder eine Zufallsvariable.
Wenn wir jetzt mal die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\ |\ X)$ genauso angehen: Wie wahrscheinlich ist, daß A eintritt, wenn ich weiß, was X ist.
Die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man aus der naiven Rechnung:
[mm] $E(1_A\ [/mm] |\ X)=1*P(A\ |\ X) + 0* [mm] P(A^c\ [/mm] |\ X)$
$P(A\ |\ X)$ ist also eine Funktion von X, weil der Wert eben von X abhängt. Und weil X eine Funktion von [mm] $\omega$ [/mm] ist, ist auch die bedingte Wkeit eine:
$P(A |X):\ [mm] \omega\ \mapsto\ [/mm] P(A\ |\ [mm] X)(\omega)$
[/mm]
Die Beziehung zu Deiner (formalen) Variante der bedingten Erwartung ist jetzt: $E(Z\ |\ X) := E(Z\ |\ [mm] \sigma(X))$, [/mm] d.h. jedem [mm] $A\in \sigma(X)$, [/mm] d.h. jedem [mm] $A\in\mathcal [/mm] A$ über dessen Eintreten ich durch Kenntnis des Wertes von X entscheiden kann, weisen wir den Wert zu, den wir dann für Z erwarten.
Wirklich formal sieht man, daß [mm] $E(X|\mathcal F):\Omega\to\IR$ [/mm] eine Funktion auf [mm] $\Omega$ [/mm] ist schon aus der Definition:
$ [mm] \mathbb{E}(\cdot |\mathcal [/mm] F): [mm] L^1(\mathcal A)\to L^1(\mathcal [/mm] F) $
Jedes Element aus [mm] $L^1(\mathcal [/mm] F)$ ist nämlich eine Funktion von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] da [mm] $\mathcal [/mm] F$ eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
Auch würde der Ausdruck [mm] $\int_A [/mm] E(X\ |\ [mm] \mathcal [/mm] F)\ dP = [mm] \int_A [/mm] X\ dP$ [mm] $\forall A\in\mathcal [/mm] F$ sonst überhaupt keinen Sinn ergeben. Da [mm] $1_A\in L^1(\mathcal [/mm] A)$ ist der Ausdruck [mm] $E(1_A\ [/mm] |\ [mm] \mathcal [/mm] F)$ somit wohldefiniert und eine Funktion von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Auch möglich:
Zufallsvariablen müssen übrigens nicht unbedingt reellwertig sein. [mm] $P(\cdot|\mathcal [/mm] F)$ ist, wenn Ihr das zulaßt, also eine Zufallsvariable, die jedem [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] eine Funktion [mm] $P(\cdot |\mathcal F):\mathcal A\to\IR$ [/mm] zuweist (die trotz der suggestiven Schreibweise keine Wahrscheinlichkeitsmaße sein müssen). Alles was ich oben geschrieben hab, stimmt natürlich noch immer. Stochastische Kerne fallen unter diese Rubrik.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Do 25.03.2010 | | Autor: | Merli |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort. Jetzt habe ich es verstanden :)
Liebe Grüße,
Merli
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