bedingte W´keiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 13.11.2008 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | 7% der Produkte eines Artikels besitzen den Fehler [mm]F_1[/mm]; 5% besitzen den Fehler [mm]F_2[/mm]. 90% der Produktion sind fehlerfrei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewählter Artikel
a) beide Fehler besitzt?
b)den Fehler [mm]F_2[/mm] besitzt, unter der Bedingung, dass er den Fehler [mm]F_1[/mm] nicht besitzt?
c)beide Fehler besitzt unter der Bedingung, dass er mintestens einen Fehler besitzt?
d)den Fehler [mm]F_2[/mm] besitzt, unter der Bedingung, dass er den Fehler [mm]F_1[/mm] besitzt?
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ich hab mit einer kommilitonin folgendes überlegt:
es handelt sich um bedingte w´keiten
[mm]B[/mm]: "Produkt ist defekt"
[mm]A_1[/mm]: "Produkt hat [mm]F_1[/mm]"
[mm]A_2[/mm]: "Produkt hat [mm]F_2[/mm]"
a)P([mm]A_1 \cap A_2|B[/mm])=
[mm]\bruch{P(B|A_1 \cap A_2)*P(A_1 \cap A_2)}{P(B|A_1\cap A_2)*P(A_1 \cap A_2)+P(B|(A_1 \cap A_2)^c)*P((A_1 \cap A_2)^c)}[/mm] = [mm]\bruch{1*0,07*0,05}{1*0,07*0,05+0,1*(1-0,07*0,05)*(1-0,07*0,05} = 0.034[/mm]
b)[mm]P(A_1|B)-P(A_1 \cap A_2|B)= 0,3235[/mm]
c)???? ist das nicht das selbe wie bei der a) ????
d)[mm]P(A_1|B)*P(A_2|B)=0,15947[/mm]
ich hab zweifel, dass das so stimmt. hoffentlich kann mir jemand weiter helfen!!!!
lg
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Hallo Ella87!
Also ich bin jetzt kein absolutes Mathegenie, aber ein bisschen zu kompliziert sieht das in deiner Rechnung schon aus ;)
Als allererstes empfehle ich Dir ganz dringend eine Vierfeldertafel anzulegen, die hilft bei solchen fragestllungen enorm weiter. Dann musst du nämlich deine Ergebnisse quasi nur noch ablesen. :)
a) Der Artikel beide defekte haben. Wenn sie unabhängig voneinander defekt sind, wovon ich jetzt ausgehe, bedeutet dies, das der eine Fehler mit 7% eintreten soll, also 0,07 und dazu der andere Fehler mit 5%, also 0,05. Verknüpft man diese beiden Ereignisse, so müsste sich ergeben 0.07*0,05=0,0035, also 0,35%.
Beim Rest bin ich mir nicht sicher, ist lang her die bedingte Wahrscheinlichkeit ;)
b) Fehler F1 nicht -> zu 0.93, kombiniert mit der Wahrscheinlichkeit, dass F2 auftritt: 0.93*0,05= 0,0465 -> zu 4,65% hat der Artikel den Fehler F2, aber F1 nicht
c) NEIN, es ist NICHT dasselbe, wie die a! Bei a wird gefragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt 2 Fehler in der Gesamtsumme der Artikel auftreten, in der c untersuchen wir nur noch diese Artikel, die ohnehin schon einen Fehler haben darauf, ob sie noch einen zweiten aufweisen.
Tja, beim ausrechnen hiervon weiß ich aber dennoch nicht weiter, evtl addieren von P(A1) und P(A2), also 0,07+0,05=0,12. das ist wie Wahrsch für überhaupt einen Fehler und das kombinieren wir damit, dass eben noch ein Fehler auftritt: P(A1oderA2)*P(A1)+P(A1oderA2)*P(A2)=P(A1oderA2)*P(A1oderA2)=0,0144, also 1,44% Könnte vom Zahlenwert her stimmen, weil es ja recht unwahrscheinlich ist, wenn man sich so die Wahrsch für die einzelnen Fehler anschaut, aber...??
und d)
hm, also hier hätte ich fast gesagt, dass das das gleiche ist wie die a, aber das kann nicht sein, das macht einfach keinen Sinn...ist halt schon lange her, dass ich sowas gerechnet habe ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 13.11.2008 | | Autor: | ella87 |
sorry, aber ich glaub nicht, dass das so stimmt!
es geht bei der aufgabe doch um bedingte w´keiten und die löst man doch mit bayes!
was du bei der a) gemacht hast ist ja einfach aneinander multipliziert und da ist doch überhaupt nicht bedacht, dass nur 10% überhaupt defekt ist. das kann doch dann nicht sein. oder???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Luna-Mausi |
sorry, stimmt, das hatte ich voll überlesen ;)...Aber wie lernt ihr denn bedingte Wahrscheinlichkeiten wenn weder 4-Felder-Tafel noch Venn drin vorkommen? Bei uns war das beides quasi ausschließlich, Bayes nur so am Rande...seltsam
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Hi, ella,
> 7% der Produkte eines Artikels besitzen den Fehler [mm]F_1[/mm]; 5%
> besitzen den Fehler [mm]F_2[/mm]. 90% der Produktion sind
> fehlerfrei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
> aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewählter Artikel
> a) beide Fehler besitzt?
> b)den Fehler [mm]F_2[/mm] besitzt, unter der Bedingung, dass er den
> Fehler [mm]F_1[/mm] nicht besitzt?
> c)beide Fehler besitzt unter der Bedingung, dass er
> mintestens einen Fehler besitzt?
> d)den Fehler [mm]F_2[/mm] besitzt, unter der Bedingung, dass er den
> Fehler [mm]F_1[/mm] besitzt?
Anders als luna_mausi gehe ich davon aus, dass die Fehler ziemlich sicher NICHT unabhängig voneinander auftreten.
Mit Hilfe z.B. eines Venn-Diagramms (4-Felder-Tafel geht natürlich auch) berechne ich Folgendes:
a) [mm] P(F_{1} \cap F_{2}) [/mm] = 0,9 + 0,07 + 0,05 - 1 = 0,02
b) ... = [mm] \bruch{P(\overline{F_{1}} \cap F_{2})}{P(\overline{F_{1}})} [/mm] = [mm] \bruch{0,03}{0,93} \approx [/mm] 0,03226
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Do 13.11.2008 | | Autor: | ella87 |
sorry, vielleicht bin ich einfach nur doof, aber wir haben in der vl weder eine vierfeldertafel noch ein venn-diagramm gehabt,also werden diese lösungswege nicht gelten.
außerdem verstehe ich nicht, wieso du die wahrscheinlichkeiten bei der a addierst!?!
und der tipp zu der aufgabe war, dass das halt bedingte w´keiten sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 13.11.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, ella,
> sorry, vielleicht bin ich einfach nur doof, aber wir haben
> in der vl weder eine vierfeldertafel noch ein venn-diagramm
> gehabt,also werden diese lösungswege nicht gelten.
Das diese Lösungswege nicht gelten, erscheint mir ausgeschlossen, denn beides sind nur "Lösungshilfen", um die für die bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigen Zahlen zusammenzustellen!
> außerdem verstehe ich nicht, wieso du die
> wahrscheinlichkeiten bei der a addierst!?!
> und der tipp zu der aufgabe war, dass das halt bedingte
> w´keiten sind...
In Aufgabe a) ist mit Sicherheit keine bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt - oder hast Du vergessen, die Bedingung aufzuschreiben?!
Gefragt ist eindeutig dies: [mm] P(F_{1} \cap F_{2})!
[/mm]
Und nun zur Logik:
Es gibt ja bei 2 auftretenden Fehlern nur 4 verschiedene Möglichkeiten:
1. Das Produkt ist fehlerfrei.
2. Das Produkt besitzt NUR den Fehler F1.
3. Das Produkt besitzt NUR den Fehler F2.
4. Das Produkt besitzt BEIDE Fehler zugleich.
Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall ist vorgegeben: 0,9.
Die Zahlen 0,07 und 0,05 aber beinhalten neben 2. und 3. BEIDE auch den 4.Fall!
Also: Sowohl bei den 0,07 als auch bei den 0,05 sind diejenigen Produkte mit dabei, die BEIDE Fehler aufweisen!
Wenn Du keine "Lösungshilfe" (Venn-Diagramm oder 4-Feldertafel) verwenden möchtest, musst Du's halt anders rauskriegen - vielleicht so:
Du hast 100 Artikel,
davon sind 90 in Ordnung (demnach 10 fehlerhaft)
7 haben den Fehler F1 und 5 den Fehler F2 - das wären zusammen 12.
Da aber nur 10 fehlerhafte da sind, müssen 12 - 10 = 2 BEIDE Fehler aufweisen.
Nun eine Zusammenstellung der wichtigsten sich daraus ergebenden Zahlen in Form von Wahrscheinlichkeiten:
[mm] P(\overline{F_{1}} \cap \overline{F_{2}}) [/mm] = 0,9
[mm] P(F_{1}) [/mm] = 0,07
[mm] P(F_{2}) [/mm] = 0,05
[mm] P(\F_{1} \cap F_{2}) [/mm] = 0,02
[mm] P(\overline{F_{1}} \cap F_{2}) [/mm] = 0,03
[mm] P(\overline{F_{2}} \cap F_{1}) [/mm] = 0,05
Was Du sonst noch brauchst, kriegst Du nun leicht raus!
mfG!
Zwerglein
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Von 100 Geräten haben 90 Geräte gar keinen Fehler, 5 Geräte haben nur den Fehler [mm] F_{1}, [/mm] 3 Geräte haben nur den Fehler [mm] F_{2} [/mm] und 2 Geräte haben beide Fehler.
Das geht so aus der Prämisse der Aufgabe hervor.
Zu a)
2 Prozent besitzen also beide Fehler.
Auf den ersten Blick sieht es so aus, als müsse man 0.07*0.05 rechnen. Das würde aber nur dann hinhauen, wenn da nichts von den 90 % fehlerfreien Geräten stehen würde.
Zu b)
93 Geräte haben nicht den Fehler [mm] F_{1}. [/mm] Von diesen 93 haben 2 den Fehler [mm] F_{2}
[/mm]
Zu c)
Mindestens einen Fehler haben 10 Geräte (90 sind ja fehlerfrei)
Von diesen 10 Geräten haben 2 beide Fehler. Also 20 %
Zu d)
Den Fehler [mm] F_{1} [/mm] besitzen 7 Geräte.
Von diesen 7 Geräten haben 2 auch den Fehler [mm] F_{2}. [/mm] Also 28.57 %
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