bedingte Erwartung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Do 26.07.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Ich kenne den Satz, wenn ich eine bedingte Erwartung der Form [mm] $E[F(X,Y)|\mathcal{G}]$ [/mm] habe, wobei $F$ eine messbare Funktion ist, $X$ unabhängig von [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] und $Y$ [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] messbar, dann gilt:
[mm] $$E[F(X,Y)|\mathcal{G}]= E[F(X,y)]|_{y=Y(\omega)}$$
[/mm]
Ich betrachte nun den Fall [mm] $F(x,y):=\mabf1_{x+y\in A}$ [/mm] wobei $A$ eine offene Menge in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist. Weiter sei [mm] $X=(W_{t+h}-W_t),Y=W_t$ [/mm] und [mm] $\mathcal{G}:=\sigma (W_s;s\le [/mm] t)$, wobei $W$ eine Brownsche Bewegung ist. Dann kann ich ja den Satz anwenden:
[mm] $$E[F(X,Y)|\mathcal{G}]= [/mm] const [mm] \int_A \exp{(-\frac{(x-W_t)^2}{2 h})} [/mm] dx $$
Meine Frage ist, wieso steht in der [mm] $\exp(x)$ [/mm] Funktion [mm] $x-W_t$ [/mm] und nicht [mm] $x+W_t$ [/mm] ? Meine Funktion $F$ ist ja auch definiert als [mm] $\mathbf1{x+y\in A}$ [/mm] Danke für die Hilfe
Liebe Grüsse
physicus
ps: [mm] $\mathbf1$ [/mm] ist die charakteristische Funktion.
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Hiho,
die exp-Funktion kommt doch durch die Verteilungsdichte von X zustande.
Hast du das mal ausgeschrieben?
Mach das mal 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Fr 27.07.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Gonozal
Danke für deine schnelle Antwort. Ich glaube ich weiss jetzt, was du meinst! Das ist einfach Transformation für Zufallsvariablen. Wenn eine ZV $X$ eine Dichte $f(x)$ hat, dann hat $X+b$ die Dichte $f(x-b)$, richtig?
Gruss
phyiscus
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Hallo,
das ist korrekt.
Viele Grüße
Blasco
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