bayes'sches theorem aufgabe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 So 06.11.2011 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | A - 1 - 2 - 3 - B (das sind alles Felder)
Ein Spielstein wird rein zufällig auf eines der 3 Felder 1, 2 oder 3 gestellt. Anschließend wird eine Münze geworfen. Fällt sie auf Kopf, rückt der Stein um 1 Feld nach rechts, bei Zahl nach links. Dann wird die Münze wieder geworfen, solange bis der Stein entweder Feld A oder Feld B erreicht hat. Im ersten Fall hat Spieler A gewonnen, im zweiten Spieler B.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stein von Feld 3 gestartet ist, wenn man weiß, dass B gewonnen hat? |
Hallo,
ich habe jetzt schon mehrere Aufgaben zum Thema Bayes-Theorem und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gelöst, aber das folgende bereitet mir aufgrund der fehlenden Wahrscheinlichkeitsangaben Probleme:
Ich habe den Ereignisraum einmal in 3 Teile geteilt: Start in 1,2,3, wobei diese den Ereignisraum dritteln.
Dann habe ich mich versucht diese wiederum zu partitionieren:
Fall Start in 2: Da dieser gleich weit von A und B entfernt ist habe ich die Chance als A:B := 1:1 gewählt. also normiert: P(A|2) = P(B|2)=1/2
Ist das zulässig?
Und was mache ich mit den Ereignissen, falls der Spielstein unendlich lange zwischen den Feldern 1,2 und 3 herumspringt und nicht endet? Nach dem Multiplikationssatz sollte diese Wahrscheinlichkeit nach 0 konvergieren oder?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{2}})^{n} = \bruch{1}{\infty}=0[/mm]
Kann ich diese Fälle der Einfachheit halber ignorieren?
Bei Start in 1 bzw. 3 habe ich die Chancen als 3:1 bzw. 1:3 gewählt, da A dreimal näher an B (bzw. umgekehrt) und da die Zugrichtungen gleichwahrscheinlich. Also: P(A|1) =3/4, P(B|1) = 1/4 (und für Start 3 vertauscht)
Setze ich das alles in die Formel vom Bayes'schen Theorem ein, erhalte ich:
[mm] P(3|B) = \bruch{P(3)P(B|3)}{P(1)P(B|1)+P(2)P(B|2)+P(3)P(B|3)}=\bruch{1}{2} [/mm]
Kann man so, wie ich es getan habe, vorgehen?
Liebe Grüße
r2d2
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
|
|
| |
|
> A - 1 - 2 - 3 - B (das sind alles Felder)
> Ein Spielstein wird rein zufällig auf eines der 3 Felder
> 1, 2 oder 3 gestellt. Anschließend wird eine Münze
> geworfen. Fällt sie auf Kopf, rückt der Stein um 1 Feld
> nach rechts, bei Zahl nach links. Dann wird die Münze
> wieder geworfen, solange bis der Stein entweder Feld A oder
> Feld B erreicht hat. Im ersten Fall hat Spieler A gewonnen,
> im zweiten Spieler B.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stein von
> Feld 3 gestartet ist, wenn man weiß, dass B gewonnen hat?
> Hallo,
>
> ich habe jetzt schon mehrere Aufgaben zum Thema
> Bayes-Theorem und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
> gelöst, aber das folgende bereitet mir aufgrund der
> fehlenden Wahrscheinlichkeitsangaben Probleme:
>
> Ich habe den Ereignisraum einmal in 3 Teile geteilt: Start
> in 1,2,3, wobei diese den Ereignisraum dritteln.
>
> Dann habe ich mich versucht diese wiederum zu
> partitionieren:
>
> Fall Start in 2: Da dieser gleich weit von A und B entfernt
> ist habe ich die Chance als A:B := 1:1 gewählt. also
> normiert: P(A|2) = P(B|2)=1/2
>
> Ist das zulässig?
Im Prinzip ja, da das Problem vollkommen symmetrisch ist. Aber es muss dann sichergestellt sein, dass es immer in endlicher Zeit einen Gewinner gibt (siehe unten).
> Und was mache ich mit den Ereignissen, falls der
> Spielstein unendlich lange zwischen den Feldern 1,2 und 3
> herumspringt und nicht endet? Nach dem Multiplikationssatz
> sollte diese Wahrscheinlichkeit nach 0 konvergieren oder?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ({\bruch{1}{2}})^{n} = \bruch{1}{\infty}=0[/mm]
>
> Kann ich diese Fälle der Einfachheit halber ignorieren?
Unendlich lange geht nicht. Das kann beliebig lange (das ist ein Unterschied!) dauern, aber mit Wahrscheinlichkeit 1 kommt es irgendwann zu einem Ende.
>
> Bei Start in 1 bzw. 3 habe ich die Chancen als 3:1 bzw. 1:3
> gewählt, da A dreimal näher an B (bzw. umgekehrt) und da
> die Zugrichtungen gleichwahrscheinlich. Also: P(A|1) =3/4,
> P(B|1) = 1/4 (und für Start 3 vertauscht)
Die Werte stimmen, aber dafür wäre eine formale Begründung angebracht.
>
> Setze ich das alles in die Formel vom Bayes'schen Theorem
> ein, erhalte ich:
> [mm]P(3|B) = \bruch{P(3)P(B|3)}{P(1)P(B|1)+P(2)P(B|2)+P(3)P(B|3)}=\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist korrekt
>
> Kann man so, wie ich es getan habe, vorgehen?
>
> Liebe Grüße
> r2d2
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
>
|
|
|
|
