basis von ker F < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 16.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo leute,
sei F: [mm] \IR^n\to \IR^m [/mm] gegeben durch die folgenden matrizen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }
[/mm]
bestimmen sie jeweils basen von Ker F und Im F.
wie gehe ich hier vor?also was eine basis ist,ist mir denke ich klar,aus dem kern einer matrix bin ich noch nicht wirklich schlau geworden,ich weiß nur dass der kern aus allen elementen besteht die auf das neutrale element abgebildet werden und das die dim des kernes=dimV-rg ist.aber das allein bringt mich irgendwie noch nicht viel weiter...
lieben gruß
gruß
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Hallo mini111,
du hast ja hier eine [mm] $2\times [/mm] 3$-Matrix A.
Die repräsentiert also eine lineare Abbildung [mm] $L:\IR^3\to\IR^2$
[/mm]
Dann weißt du bestimmt, dass die Spalten(-vektoren) von A das Bild von F aufspannen.
Weiter ist Zeilenrang=Spaltenrang.
Bestimme also erst einmal die Dimension des Bildes, also den Rang der Matrix A.
Wie das geht, weißt du ja sicher: Bringe A in Zeilenstufenform, dann ist der Rang usw. usw. ... 
Dann kannst du dementsprechend viele linear unabhängige Spaltenvektoren aus A auswählen für deine Basis von $im(F)$
In diesem Falle ist es so, dass du, wenn du den rg(A) berechnet hast, auch durch ein klein wenig Nachdenken und ohne die Spaltenvektoren von A eine Basis von im(F) angeben kannst - du wirst es sehen
Dann hast du im weiteren die Dimensionsformel angegeben, kannst also aus der berechneten Dimenson von im(F) direkt zur Kontrolle sagen, wie die Dimension von Ker(F) ist
Zur Berechnung einer Basis von Ker(F):
Du hast richtig gesagt, dass im Kern alle Vekoren sind, die auf 0 (Nullvektor im Zielraum) abgebildet werden
Zu bestimmen ist also die Menge aller [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in\IR^3$ [/mm] mit [mm] $F(v)=\vektor{0\\0}$
[/mm]
bzw. hier in Matrixschreibweise [mm] $A\cdot{}v=0$
[/mm]
Das ist ein homogenes LGS, das du auch bestimmt lösen kannst - du hast ja auch schon einen Anhaltspunkt, welche Dimension dieser Lösungsraum haben muss...
Hilft dir das erst einmal weiter?
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Sa 16.02.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo schachuzipus,
danke für deine hilfe,es hat mir sehr geholfen!ich hoffe, dass sich deine mühe gelohnt hat und ich kein quatsch gerechnet habe;)also der rang ist 2 und die basis des bildes von A ist (1,4),(2,5),kann es auch die kartesische basis sein also (1,0), (0,1)?und als die basis des kerns von A habe ich(1,-2,1)heraus.
lieben gruß
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Hallo mini111,
was soll ich sagen?
> hallo schachuzipus,
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> danke für deine hilfe,es hat mir sehr geholfen!ich hoffe,
> dass sich deine mühe gelohnt hat und ich kein quatsch
> gerechnet habe;)also der rang ist 2 und die basis des
> bildes von A ist (1,4),(2,5),kann es auch die kartesische
> basis sein also (1,0), (0,1)?und als die basis des kerns
> von A habe ich(1,-2,1)heraus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lieben gruß
Alles bestens !
LG
schachuzipus
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