b-adische brüche < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | | jede zahl [mm] |x|\le\bruch{1}{2} [/mm] lässt sich darstellen als [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_k}{3^k} [/mm] mit [mm] a_k [/mm] ={-1,0,1} |
jede reelle Zahl auch die mit [mm] |x|\le\bruch{1}{2} [/mm] lässt sich als 3-adischer bruch der Form [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_k}{3^k} [/mm] darstellen.
Aber wie soll ich drauf kommen, dass die [mm] a_k [/mm] nur 1,0 oder -1 sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 17.09.2008 | | Autor: | abakus |
> jede zahl [mm]|x|\le\bruch{1}{2}[/mm] lässt sich darstellen als
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_k}{3^k}[/mm] mit [mm]a_k[/mm] ={-1,0,1}
> jede reelle Zahl auch die mit [mm]|x|\le\bruch{1}{2}[/mm] lässt
> sich als 3-adischer bruch der Form
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_k}{3^k}[/mm] darstellen.
>
> Aber wie soll ich drauf kommen, dass die [mm]a_k[/mm] nur 1,0 oder
> -1 sind?
Hallo,
wie lautet denn die Aufgabe???
Eventuell so: "Beweise, dass ..."?
Und die -1, 0 und 1 sind nicht etwa vorausgesetzt?
Für diesen Fall würde ich zwei Dinge empfehlen:
1) Nachweis, dass die Intervallgrenzen (-0,5 und +0,5) auf diese Art darstellbar sind
2) Nachweis, dass es für jede reelle Zahl dieses Intervalls eine aus diesen Dreierpotenzen zu bildende Intervallschachtelung gibt, deren Breite gegen Null geht.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Woaze |
das war schon so gemeint, man beweise, dass obiges mit den zahlen [mm] a_k [/mm] = {1,0-1} darstellbar ist.
Aber ich kann nicht mal einen 3- adischen bruch für 1/2 aufstellen so wie ich gerade schmerzlich feststellen musste. Gibts da irgent einen algorithmus?
Ich hab soweit mal 1/2 = 1/3 + 1/9 + 0/27 + 1/81 + ... mit allen [mm] a_k [/mm] immer 1 und dass ist aber nur angenommen, ncht bewiesen ich muss also noch zeigen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k} [/mm] gegen 1/2 konvergiert und das tuts aber auch (geometrische reihe), man bin ich blöd
Aber wie soll ich das mit der Intervallverschachtelung hinkriegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 17.09.2008 | | Autor: | abakus |
> das war schon so gemeint, man beweise, dass obiges mit den
> zahlen [mm]a_k[/mm] = {1,0-1} darstellbar ist.
>
> Aber ich kann nicht mal einen 3- adischen bruch für 1/2
> aufstellen so wie ich gerade schmerzlich feststellen
> musste. Gibts da irgent einen algorithmus?
>
> Ich hab soweit mal 1/2 = 1/3 + 1/9 + 0/27 + 1/81 + ... mit
> allen [mm]a_k[/mm] immer 1 und dass ist aber nur angenommen, ncht
> bewiesen ich muss also noch zeigen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3^k}[/mm] gegen 1/2 konvergiert
> und das tuts aber auch (geometrische reihe), man bin ich
> blöd
>
> Aber wie soll ich das mit der Intervallverschachtelung
> hinkriegen?
>
Du kriegst jeden Bruch mit dem Nenner 9 hin:
0, 1/9, 1/3 - 1/9, 1/3, 1/3 + 1/9
Du kriegst auch jeden Bruch mit dem Nenner 27 hin, indem du
- diese o.g. Brüche beibehältst (0/27, 3/27, 6/27, 9/ 27, ...)
- oder davon 1/27 subtrahierst (-1/27, 2/27, 5/27, 8/ 27, ...)
- oder dazu 1/27 addierst (1/27, 4/27, 7/27, 10/ 27, ...)
Du kriegst auch jeden Bruch mit dem Nenner 81 hin, indem du
- die 27-er Brüche beibehältst
- oder davon 1/81 subtrahierst
- oder dazu 1/81 addierst
...
Die Intervalle werden immer kleiner.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:14 Do 18.09.2008 | | Autor: | Woaze |
Also ich nehme dann ein x beliebig aus R und sag meinetwegen das dieses x zwischen 1/81 und 2/81 liegt und dann lass ich diesen Intervall gegen das x kleiner werden. Aber wie schreib ich das hin?
Da brauch ich doch Folgen und die müssen aber allgemein irgentwie gegen ein beliebiges x konvergieren. Aber dann mach ich's ja mit Chauchy Folgen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 20.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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