axiome reeller zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Folgern Sie aus den Axiomen der reellen Zahlen:
1. xy<0 [mm] \gdw [/mm] (x<0 und y>0)oder (x>0 und y<0)
2. 0<x<y und z<0 [mm] \Rightarrow [/mm] xz>yz |
hallo!
also 2. würde ich mit der monotonie der multiplikation machen, daraus folgt ja dann, dass 0>x*z>y*z also xz>yz. aber dies reicht sicher noch nicht als beweis...was müsste ich noch schreiben?
und bei 1.hab ich keine ahnung. bietet sich eine fallunterscheidung an? also zb 1.Fall: x<0....wie folgere ich daraus dann mit den axiomen, dass y>0??
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Fr 17.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Folgern Sie aus den Axiomen der reellen Zahlen:
> 1. xy<0 [mm]\gdw[/mm] (x<0 und y>0)oder (x>0 und y<0)
> 2. 0<x<y und z<0 [mm]\Rightarrow[/mm] xz>yz
> also 2. würde ich mit der monotonie der multiplikation
> machen, daraus folgt ja dann, dass 0>x*z>y*z also xz>yz.
> aber dies reicht sicher noch nicht als beweis...was müsste
> ich noch schreiben?
Also ich kenne die Monotonie der Multiplikation so:
[mm] $x0 \Rightarrow [/mm] xz<yz$
Daraus müsstest du erstmal folgern:
[mm] $x
Ansonsten ist dein Beweis fertig.
> und bei 1.hab ich keine ahnung. bietet sich eine
> fallunterscheidung an? also zb 1.Fall: x<0....wie folgere
> ich daraus dann mit den axiomen, dass y>0??
Genau.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
cool, genauso hab ich das bei 2. sogar hingeschrieben mit der monotonie! danke!
und was heißt jetzt "genau" zur 1. aufgabe? wie kann ich denn folgern, dass y größer 0 sein muss?
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> und was heißt jetzt "genau" zur 1. aufgabe?
Hallo,
daß Du es mit Fallunterscheidungen machen sollst.
> wie kann ich
> denn folgern, dass y größer 0 sein muss?
Leg doch mal los:
Sei xy<0 und x>0.
Du könntest nun annehmen, daß [mm] y\ge [/mm] 0 ist, und dies zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
vorstellen kann ich mir das ja immer, aber wie schreibt mans auf...ich habe es nun so gemacht: Fall1: x>0--angenommen, y [mm] \ge [/mm] 0, dann wäre x [mm] \in [/mm] P (positive Zahlen) und x ebenso
wegen der abgeschlossenheit der multiplikation folgt dann: xy [mm] \in [/mm] P und somit xy >0 da dies im widerspruch zur voraussetzung steht, folgt y < 0
im 2.fall--x<0 nimmt man dann entsprechend y [mm] \le [/mm] 0 an, kann ich da dann wie oben verfahren nur mit -x [mm] \in [/mm] P ....??
der 3.fall wäre dann x=0 aber 0*y=0 (kann man das so kurz schreiben? auf welches axiom stützt sich diese aussage) dieser 3.fall kommt also nicht in frage
inwieweit stimmen meine folgerungen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 17.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> vorstellen kann ich mir das ja immer, aber wie schreibt
> mans auf...ich habe es nun so gemacht: Fall1:
> x>0--angenommen, y [mm]\ge[/mm] 0, dann wäre x [mm]\in[/mm] P (positive
> Zahlen) und x ebenso
"... und x ebenso." Hä?
> wegen der abgeschlossenheit der multiplikation folgt dann:
> xy [mm]\in[/mm] P
Hä? Die Abgeschlossenheit der Multiplikation ist [mm] $x,y\in\IR\Rightarrow xy\in\IR$. [/mm] Was du meinst ist die Monotonie der Multiplikation ("MdM"):
Ist $y>0$, so folgt wegen MdM auch $xy>0$, Widerspruch. Ist $y=0$ so folgt $xy=0$ (siehe weiter unten), Widerspruch. Also muss $y<0$ sein.
> im 2.fall--x<0 nimmt man dann entsprechend y [mm]\le[/mm] 0 an,
> kann ich da dann wie oben verfahren nur mit -x [mm]\in[/mm] P
> ....??
Im Grunde geht das Analog, hier könntest du aber auch Aufgabe 2) benutzen, die wird ja unabhängig von 1) bewiesen.
> der 3.fall wäre dann x=0 aber 0*y=0 (kann man das so kurz
> schreiben?
Da dir offenbar nicht klar ist, warum das gilt, NEIN!
> auf welches axiom stützt sich diese aussage?
Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\gdw 0=0\cdot [/mm] x$.
Überlege dir welche Axiome ich für diese Umforumungen benutzt habe.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
> > vorstellen kann ich mir das ja immer, aber wie schreibt
> > mans auf...ich habe es nun so gemacht: Fall1:
> > x>0--angenommen, y [mm]\ge[/mm] 0, dann wäre x [mm]\in[/mm] P (positive
> > Zahlen) und x ebenso
> "... und x ebenso." Hä?
sorry, tippfehler
>
> > wegen der abgeschlossenheit der multiplikation folgt dann:
> > xy [mm]\in[/mm] P
> Hä? Die Abgeschlossenheit der Multiplikation ist
> [mm]x,y\in\IR\Rightarrow xy\in\IR[/mm]. Was du meinst ist die
> Monotonie der Multiplikation ("MdM"):
jetzt hast du mich wirklich stutzig gemacht und ich habe doch glatt nochmal meine aufzeichnungen der vorlesung rausgesucht: wir haben die "abgeschlossenheit der m."in solchen fällen tatsächlich verwendet!
> Ist [mm]y>0[/mm], so folgt wegen MdM auch [mm]xy>0[/mm], Widerspruch. Ist
> [mm]y=0[/mm] so folgt [mm]xy=0[/mm] (siehe weiter unten), Widerspruch. Also
> muss [mm]y<0[/mm] sein.
>
> > im 2.fall--x<0 nimmt man dann entsprechend y [mm]\le[/mm] 0 an,
> > kann ich da dann wie oben verfahren nur mit -x [mm]\in[/mm] P
> > ....??
> Im Grunde geht das Analog, hier könntest du aber auch
> Aufgabe 2) benutzen, die wird ja unabhängig von 1)
> bewiesen.
>
> > der 3.fall wäre dann x=0 aber 0*y=0 (kann man das so kurz
> > schreiben?
> Da dir offenbar nicht klar ist, warum das gilt, NEIN!
>
> > auf welches axiom stützt sich diese aussage?
> Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\gdw 0=0\cdot x[/mm].
>
> Überlege dir welche Axiome ich für diese Umforumungen
> benutzt habe.
erst das inverse und dann distributivgesetz?
>
> Gruß, Robert
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> > > wegen der abgeschlossenheit der multiplikation folgt dann:
> > > xy [mm]\in[/mm] P
> > Hä? Die Abgeschlossenheit der Multiplikation ist
> > [mm]x,y\in\IR\Rightarrow xy\in\IR[/mm]. Was du meinst ist die
> > Monotonie der Multiplikation ("MdM"):
>
> jetzt hast du mich wirklich stutzig gemacht und ich habe
> doch glatt nochmal meine aufzeichnungen der vorlesung
> rausgesucht: wir haben die "abgeschlossenheit der m."in
> solchen fällen tatsächlich verwendet!
Hallo,
ja, das kann gut sein. Sicher in der Formulierung: "die Multiplikation in P ist abgeschlossen ". Oder so ähnlich.
> > > der 3.fall wäre dann x=0 aber 0*y=0 (kann man das so kurz
> > > schreiben?
> > Da dir offenbar nicht klar ist, warum das gilt, NEIN!
> >
> > > auf welches axiom stützt sich diese aussage?
> > Für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt [mm]0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\gdw 0=0\cdot x[/mm].
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> >
> > Überlege dir welche Axiome ich für diese Umforumungen
> > benutzt habe.
>
> erst das inverse und dann distributivgesetz?
Nee. Erst das neutrale Element bzgl +, dann das Distributibgesetz, dann das Inverse bzgl. +.
Gruß v. Angela
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