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Hallo,
ich habe eine Frage dazu, was ein autonomes System in Bezug auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist.
Definiert wird ein autonomes System über [mm] \phi'(x)= v(\phi(x))
[/mm]
Wenn man jetzt mündlich erklären soll was das ist, ist es dann ausreichend zu sagen, dass die rechte Seite der Dgl nur von einer Variablen abhängt?
Dann noch eine Frage zu maximalen Integralkurven. Warum ist es immer erforderlich ein offenes Intervall I zu haben auf dem die maximale Integralkurve erklärt ist? Im Skript steht irgendwas vonwegen, dass eine maximale Integralkurve jedes Kompaktum verlässt. Aber ich kann mir nicht so richtig erklären, warum das Intervall offen sein muss. Kann mir da vielleicht jemand etwas zu sagen?
Danke schon mal!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo judithlein,
> ich habe eine Frage dazu, was ein autonomes System in Bezug
> auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist.
> Definiert wird ein autonomes System über [mm]\phi'(x)= v(\phi(x))[/mm]
>
> Wenn man jetzt mündlich erklären soll was das ist, ist es
> dann ausreichend zu sagen, dass die rechte Seite der Dgl
> nur von einer Variablen abhängt?
Besser: Die rechte Seite hängt nicht von $x$ ab.
So ist [mm] $\phi'(x) [/mm] = [mm] \phi(x)$ [/mm] autonom und [mm] $\phi'(x)=x*\phi(x)$ [/mm] ist nicht autonom.
>
> Dann noch eine Frage zu maximalen Integralkurven. Warum ist
> es immer erforderlich ein offenes Intervall I zu haben auf
> dem die maximale Integralkurve erklärt ist? Im Skript
> steht irgendwas vonwegen, dass eine maximale Integralkurve
> jedes Kompaktum verlässt. Aber ich kann mir nicht so
> richtig erklären, warum das Intervall offen sein muss.
> Kann mir da vielleicht jemand etwas zu sagen?
Sei $I$ das maximale Lösungsintervall zu [mm] $\phi'(x)=v(\phi(x), [/mm] x)$ und sei [mm] $x_0\in [/mm] I$. Das AWP [mm] $\chi'(x)=v(\chi(x), [/mm] x)$, [mm] $\chi(x_0)=\phi(x_0)$ [/mm] hat eine Lösung [mm] $\chi$ [/mm] auf einem Intervall $J$, wobei [mm] $x_0$ [/mm] im Inneren von $J$ liegt. Wegen der Eindeutigkeit der Lösung stimmt [mm] $\phi$ [/mm] mit [mm] $\chi$ [/mm] auf $J$ überein, also ist [mm] $J\subset [/mm] I$ und damit ist auch eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] in $I$ enthalten. Da dies für jedes [mm] $x_0$ [/mm] aus $I$ gilt, ist $I$ offen.
Gruß,
Wolfgang
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