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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:11 Mo 07.10.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] y^{(k)} [/mm] = f(y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)}) [/mm] ein autonomes DGL.
Zeige wenn [mm] \phi(x)eine [/mm] Lösung ist , dann auch [mm] \phi(x-x_0) [/mm] |
Hallo
Sei [mm] \phi [/mm] : I -> [mm] \IR [/mm] eine Lösung von [mm] y^{(k)} [/mm] = f(y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)})
[/mm]
d.h. [mm] \phi^{(k)} [/mm] (x)= [mm] f(x,\phi(x),\phi '(x),...,\phi^{(k-1)} [/mm] (x)) bzw.: [mm] F(x,\phi(x),\phi^{(1)}(x),..,\phi^{(k)} [/mm] (x))=0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I
Gegeben ist dass [mm] y^{(k)} [/mm] = f(y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)}) [/mm] ein autonomes DGL ist.
Sei z=(x,s) wobei [mm] s=(y,y^{(1)},..,y^{(k-1)})
[/mm]
Also f(x,y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)})=f(x,s) [/mm] = [mm] f(x-x_0, [/mm] y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)}) [/mm] . Es also unabhängig von der Variable x ist.
Frage: Aber steht bei [mm] f(x-x_0, [/mm] y, [mm] y^{(1)},...,y^{(k-1)}) [/mm] auch in den Argumenten der y-Funktionen das [mm] x-x_0 [/mm] ?
ZuZeigen ist : [mm] F(x-x_0,\phi(x-x_0),\phi^{(1)}(x-x_0),..,\phi^{(k)} (x-x_0))=0 \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I bzw. [mm] \phi^{(k)} (x-x_0)= f(x-x_0,\phi(x-x_0),\phi '(x-x_0),...,\phi^{(k-1)} (x-x_0))
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 07.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich steht in allen fkt nicht nur in y sondern auch in [mm] y^{(k)} x-x_0)
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 07.10.2013 | | Autor: | quasimo |
Danke für die Beantwortung der Frage - weiterkommen tuh ich leider dadurch nicht ;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 08.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst du plötzlich f(x,y,...) statt f(y,y',...) dann ist es doch nicht mehr autonom?
einfach einsetzen und sehen , dass man dann einen anderen Anfangswert hat.
un sinst dasselbe.
Gruss leduart
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