ausgeglichene Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $\emptyset \neq [/mm] X [mm] \subseteq \IZ \times \IZ$ [/mm] eine endliche Menge. Ein [mm] $x=(x_1,x_2) \in [/mm] X$ heißt [mm] {\it innerer~Punkt} [/mm] von $X$, wenn [mm] \[ Y(x):=\{(x_1-1,x_2), (x_1+1,x_2), (x_1,x_2-1), (x_1,x_2+1) \} \] [/mm] eine Teilmenge von $X$ ist. Sonst heißt $x$ ein [mm] {\it Randpunkt} [/mm] von $X$. Eine Abbildung $f:X [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] heißt [mm] {\it ausgeglichen}, [/mm] wenn $f(x) = [mm] \frac{1}{4} \sum_{y \in Y(x)} [/mm] f(y)$ für alle inneren Punkte $x [mm] \in [/mm] X$ gilt. Zeigen Sie:
(i) Die Menge aller ausgeglichenen Abbildungen auf $X$ ist ein Teilraum des Vektorraums [mm] $\IR^X$. [/mm]
(ii) Jede ausgeglichene Abbildung auf $X$ ist durch ihre Werte auf den Randpunkten von $X$ bereits eindeutig bestimmt. (Hinweis: Betrachten Sie zunachst den Fall, dass die Abbildung auf den Randpunkten den Wert 0 annimmt, und untersuchen Sie, wo sie ihr Maximum annimmt.)
(iii) Zu beliebig vorgegebenen Werten fur die Randpunkte von $X$ gibt es stets eine ausgeglichene Abbildung auf $X$, die auf den Randpunkten die vorgegebenen Werte annimmt. |
Hallo, zusammen,
Zunächst ist mir nicht klar, was genau "ausgeglichen" bedeutet. Wenn ich den Punkt [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] betrachte, so ist doch $f(x) = [mm] \frac{1}{4} \sum_{y \in Y(x)} f(y)=(x_1,x_2)$. [/mm] Und was bedeutet das nun?
Ich denke, dass ich bei (i) die Untervektorraumkriterien überprüfen muss?
Sei [mm] $W:=\left\{f:X\to\IR~|~\text{f ist ausgeglichen.}\right\}.
[/mm]
Es gilt [mm] $W\subseteq\IR^X$, [/mm] da jede ausgeglichene Abbildung insbesondere eine Abbildung von $X$ nach [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Dass [mm] $W\neq \emptyset$, [/mm] ist klar, da man z.B. die Menge $X:={(0,1),(2,1),(1,0),(1,2),(1,1)}$ betrachten kann, für die die Ausgeglichenheit gegeben ist.
Falls zwei Mengen [mm] $X_{1},X_{2}$ [/mm] existieren, wobei [mm] $f_{1}:X_{1}\to\IR\subseteq [/mm] W$ und [mm] $f_{2}:X_{2}\to\IR\subseteq [/mm] W$ ausgeglichen sind, so gilt insbesondere für jeden inneren Punkt aus [mm] $f_{1}+f_{2}:X_{1}\cup X_{2}\to\IR$, [/mm] dass er die Bedingung eines inneren Punktes erfüllt.
Aber wie zeig ich das vernünftig mit der Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation?
Für (ii) und (iii) muss ich erst mal verstehen, was es mit dieser Summe auf sich hat.
Vielen Dank, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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