matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und Reihenaus konvergenz folgt abzählbar
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - aus konvergenz folgt abzählbar
aus konvergenz folgt abzählbar < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

aus konvergenz folgt abzählbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:09 Do 23.07.2015
Autor: Kueken

Aufgabe
Es sei I eine beliebige Menge und
a: I [mm] \to [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm]
   k [mm] \mapsto a_{k} [/mm]    eine Abbildung.
a) Wir definieren die Konvergenz der allgemeinen Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] wie folgt: Die Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] heißt konvergent, wenn es ein C [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für jede endliche Teilmenge J [mm] \subset [/mm] I gilt:
[mm] \summe_{j \in J}a_{j} \le [/mm] C

Zeigen Sie:  Wenn die Reihe [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] konvergiert, dann ist I abzählbar.

Tipp: Überdecken Sie (0, [mm] \infty [/mm] )mit abzählbar vielen Intervallen(die von der Null weg beschränkt sind), so dass jedes dieser Intervalle nur endlich viele der [mm] a_{k} [/mm] enthält.

Hallo,

dies ist eine Gruppenübung zu der ich leider nicht mehr gekommen bin und jetzt nacharbeiten möchte als Prüfungsvorbereitung.

Mir fehlt hier ein sinnvoller Ansatz. Klar, wenn die Reihe konvergiert, dann kann ich die obige Definition der Konvergenz darauf anwenden. Aber schlussendlich soll ich doch zeigen, dass eine surjektive Abbildung von [mm] \IN \to [/mm] I existiert. Ich habe mir jetzt noch gedacht, dass ich wahrscheinlich eine Funktion definieren muss, die für jedes J zu einem dieser Intervalle aus dem Tipp geht und dann vermutlich begründen muss, dass diese surjektiv ist? Irgendwie bereitet mir das Bauchschmerzen. Die darauffolgende Idee wäre dann zu sagen, dass die Vereinigung einer Folge abzählbarer Intervalle(die J) wieder abzählbar ist und damit hätte ich die Abzählbarkeit von I.
Ich fürchte da ist irgendwo noch ein Haken, jedenfalls ist mir der Ablauf nicht ganz geheuer und an der Umsetzung hapert es auch.

Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
Küken

        
Bezug
aus konvergenz folgt abzählbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Do 23.07.2015
Autor: hippias

Eine surjektive Funktion [mm] $:I\to\IN$ [/mm] zu konstruieren wird wohl nicht notwendig sein. Vielmehr wird Deine zweite Idee, namelich dass man die Menge [mm] $\{a_{k}\}$ [/mm] als abzaehlbare Vereinigung endlicher Mengen schreibt, ausreichend sein.

Also: sei $A:= [mm] \{x\in (0,\infty)|\exists k\in I\: x= a_{k}\}$. [/mm] Tip: Mache Dir klar, dass z.B. [mm] $A\cap [1,\infty)$ [/mm] endlich ist.

Bezug
        
Bezug
aus konvergenz folgt abzählbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Do 23.07.2015
Autor: fred97


> Es sei I eine beliebige Menge und
> a: I [mm]\to[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm]
>     k [mm]\mapsto a_{k}[/mm]    eine Abbildung.
>  a) Wir definieren die Konvergenz der allgemeinen Reihe
> [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm] wie folgt: Die Reihe [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm]
> heißt konvergent, wenn es ein C [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass für
> jede endliche Teilmenge J [mm]\subset[/mm] I gilt:
> [mm]\summe_{j \in J}a_{j} \le[/mm] C
>  
> Zeigen Sie:  Wenn die Reihe [mm]\summe_{k \in I}a_{k}[/mm]
> konvergiert, dann ist I abzählbar.
>
> Tipp: Überdecken Sie (0, [mm]\infty[/mm] )mit abzählbar vielen
> Intervallen(die von der Null weg beschränkt sind), so dass
> jedes dieser Intervalle nur endlich viele der [mm]a_{k}[/mm]
> enthält.
>  Hallo,
>  
> dies ist eine Gruppenübung zu der ich leider nicht mehr
> gekommen bin und jetzt nacharbeiten möchte als
> Prüfungsvorbereitung.
>  
> Mir fehlt hier ein sinnvoller Ansatz. Klar, wenn die Reihe
> konvergiert, dann kann ich die obige Definition der
> Konvergenz darauf anwenden. Aber schlussendlich soll ich
> doch zeigen, dass eine surjektive Abbildung von [mm]\IN \to[/mm] I
> existiert. Ich habe mir jetzt noch gedacht, dass ich
> wahrscheinlich eine Funktion definieren muss, die für
> jedes J zu einem dieser Intervalle aus dem Tipp geht und
> dann vermutlich begründen muss, dass diese surjektiv ist?
> Irgendwie bereitet mir das Bauchschmerzen. Die
> darauffolgende Idee wäre dann zu sagen, dass die
> Vereinigung einer Folge abzählbarer Intervalle(die J)
> wieder abzählbar ist und damit hätte ich die
> Abzählbarkeit von I.
> Ich fürchte da ist irgendwo noch ein Haken, jedenfalls ist
> mir der Ablauf nicht ganz geheuer und an der Umsetzung
> hapert es auch.
>  
> Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
>  Küken


Tipps sind dazu da, dass man sie begerzigt !

Sei also  $ [mm] \summe_{k \in I}a_{k} [/mm] $ konvergent und $C$ wie in obiger Definition.


Setze [mm] $I_n:=( \bruch{1}{n}, \infty)$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist klar:

    $(0, [mm] \infty)=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$. [/mm]

Es ist

    [mm] $a^{-1}(I_n)=\{x \in I:a_x \in I_n\}=\{x \in I:a_x > 1/n\}$. [/mm]

Zeige nun:

   1. die Anzahl der Elemente in [mm] a^{-1}(I_n) [/mm] ist  [mm] $\le [/mm] nC$

und

    2. [mm] $I=\bigcup_{n=1}^{\infty}a^{-1}(I_n) [/mm] $.



Das bedeutet:

$I$ ist abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen

(wobei ich [mm] \emptyset [/mm] ebenfalls als endliche Menge ansehe).




FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]