aus holomorph folgt konstant < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 25.04.2008 | | Autor: | jeffini |
| Aufgabe | | Man zeige: Ist f: [mm] U=>\IC (U\subset\IC [/mm] Gebiet) eine Funktion und abs(f) holomorph, dann ist f konstant. |
Hi, also ich habe mir schon überlegt vielleicht etwas mit den Cauchy-Rimann DGL zu basteln, bin aber auf kein gescheites Resultat gekommen. In Büchern findet man den Beweis oft mit dem Satz von Liouville. Da wir diesen aber nicht gesehen haben und ich ihn ungern in der èbungsgruppe erklären will ;) wollte ich fragen wie man diese aufgabe denn anders beweisen könnte.
Danke für jede Hilfe.
mfg jeff
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Jeff,
der Ansatz über die Cauchy-Riemannschen DGlen ist doch ok.
Du hast also deine Funktion $f:\IC\supset U\to\IC$, so dass $|f|$ holomorph ist
Mit $z=x+iy$ kannst du $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ schreiben.
Damit ist $|f(z)|=|f(x+iy)|=|u(x,y)+iv(x,y)|=\sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)}\in\IR$
Du kannst also $|f(z)|$ schreiben als $|f(z)|=|f(x+iy)|=\tilde{u}(x,y)+i\tilde{v}(x,y)$ mit $\tilde{u}=\sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)$ und $\tilde{v}(x,y)\equiv 0$
Und das Biest ist nach Vor. holomorph.
dh. also für die C-R-DGlen....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 25.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi, ja genau diese Idee hatte ich auch und ich hatte da meine probleme beim Aufstellen der DGL.
Dass v abgeleitet nach x oder y, 0 ist, das ist ja klar, aber um u abzuleiten ist schwieriger.
Ich krieg dann etwas raus wie 1/(2*(Wurzel von dem ganzen)) * und dann weiss ich nicht mehr weiter, da ich die inneren ableitungen irgendwie nicht hinkriege. Ich weiss halt nicht wie ich zB [mm] u^2(x,y) [/mm] ableiten soll, weil ich nicht weiss was die innere Ableitung wird.
es sollte ja dann etwas wie 2*u(x,y) * "innere Ableitung" werden, und da komme ich nicht weiter.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
Hallo Leute,
also ich hab die Aufgabe vor mir liegen und kann nix erkennen was falsch sein sollte.
Sie steht genau so auf meinem Übungszettel. Naja anstelle von U ist gebiet steht hier dass U offen und zusammenhängend sei, was aber das gleiche ist.
allerdinsg habe ich bei den C-R-DGL noch etwas berechnet. Ich komme jetzt auf folgendes Ergebnis:
RE(f)* (d Re(f))/dx = - Im(f) * (d Im(f))/dx) und
Re(f)* (dRe(f))/dy) = -Im(f)* d(Im(f)/dy)
aber kann ich nun daraus schliessen dass abs(f) konstant ist??
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> also ich hab die Aufgabe vor mir liegen und kann nix
> erkennen was falsch sein sollte.
> Sie steht genau so auf meinem Übungszettel. Naja anstelle
> von U ist gebiet steht hier dass U offen und
> zusammenhängend sei, was aber das gleiche ist.
>
> allerdinsg habe ich bei den C-R-DGL noch etwas berechnet.
> Ich komme jetzt auf folgendes Ergebnis:
> RE(f)* (d Re(f))/dx = - Im(f) * (d Im(f))/dx) und
> Re(f)* (dRe(f))/dy) = -Im(f)* d(Im(f)/dy)
Gibt es irgendeinen Grund, das du annehmen kannst, dass $Re(f)$ und/oder $Im(f)$ differenzierbar sind? Ich sehe keinen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Zwei Sachen:
1) Kann es sein, dass mit $f : U [mm] \Rightarrow \IC$ [/mm] gemeint ist, dass $f$ eine Abbildung $f : U [mm] \to \IC$ [/mm] ist, die holomorph ist? Oder hast du dich in der Aufgabenstellung vertippt und wolltest $f : U [mm] \to \IC$ [/mm] schreiben?
2) Schreib doch mal abs(f)(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)$. Dann weisst du $v(x, y) = 0$. Wende jetzt mal die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auf $abs(f)$ an; dann bekommst du eine Aussage fuer $u$ und damit eine ueber $abs(f)$.
Um damit auf $f$ zurueckschliessen zu koennen, musst du noch etwas ueber $f$ wissen (etwa das es holomorph ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi ja stimmt, mein Pfeil war falsch, es soll f : U [mm] \to \IC [/mm] heissen. Allerdings ist das das einzige, von holomorph steht nirgends was :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi!
> hi ja stimmt, mein Pfeil war falsch, es soll f : U [mm]\to \IC[/mm]
> heissen. Allerdings ist das das einzige, von holomorph
> steht nirgends was :(
Dann ist die Aufgabenstellung schlichtweg falsch. Kommt mal vor :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi,
also wenn wir also davon ausgehen, dass f auch holomorph ist, was kann ich dann aus meinen DGL folgern? wenn ich mich nicht verrechnet habe kriege ich folgendes raus: ( wenn ich die DGL aufstelle und etwas umforme)
RE(f)* (d Re(f))/dx = - Im(f) * (d Im(f))/dx) und
Re(f)* (dRe(f))/dy) = -Im(f)* d(Im(f)/dy)
aber kann ich nun daraus schliessen dass abs(f) konstant ist??
ich gehe davon aus, dass unserer prof uns bestimmt noch ne mail bezüglich der aufgabe schickt und wahrscheinlich sollen wir die aufgabe dann beweisen mit der zusätzlichen info dass f holomorph ist. Darum will ich die Aufgabe doch zu ende bringen.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> also wenn wir also davon ausgehen, dass f auch holomorph
> ist, was kann ich dann aus meinen DGL folgern? wenn ich
> mich nicht verrechnet habe kriege ich folgendes raus: (
> wenn ich die DGL aufstelle und etwas umforme)
>
> RE(f)* (d Re(f))/dx = - Im(f) * (d Im(f))/dx) und
> Re(f)* (dRe(f))/dy) = -Im(f)* d(Im(f)/dy)
> aber kann ich nun daraus schliessen dass abs(f) konstant
> ist??
Wie schon gesagt, am besten indem du erstmal $f$ ignorierst und $abs(f)(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)$ mit reellwertigen Funktionen $u, v$ schreibst und dadrauf die CR-DGln loslaesst. Du kannst es natuerlich auch direkt mit $f$ machen, aber warm unnoetig kompliziert wenn's auch einfacher geht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
Hi,
ja das habe ich ja genau getan =) ich habe abs(f) als Wurzel umgeschrieben und dann die DGL berechnet. Da sieht man sofort, dass es keinen Imaginärteil mehr gigt und darum die Ableitungen gleich 0 sind. Darauf hin habe ich meine DGL umgestellt und habe das raus gekriegt was ich vorhin geschriebnen habe. Nun muss ich daraus etwas über abs(f) sagen können um dann wieder auf f zu schliessen aber das sehe ich nicht ganz=( also ich erkenne nicht was ich mit meinen DGL anfangen kann. (Resultat stehen im beitrag davor)
mfg
jeff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Jeff,
> ja das habe ich ja genau getan =)
ah ok das wusste ich nicht :)
Du weisst also schon dass $abs(f)$ konstant ist. Ist $abs(f)$ konstant 0, so muss $f$ ebenfalls konstant 0 sein und wir sind fertig. Sei also $abs(f)$ nicht konstant 0. In einem beliebigen Punkt (den wir jetzt fest halten) muss also entweder $Re(f)$ oder $Im(f)$ ungleich 0 sein. Wir nehmen mal $Re(f)$ an.
Du weisst ja noch (da $f$ holomorph) dass [mm] $Re(f)_x [/mm] = [mm] Im(f)_y$ [/mm] und [mm] $Re(f)_y [/mm] = [mm] -Im(f)_x$ [/mm] ist (ich verwende mal die schreibweise [mm] $u_x$ [/mm] fuer [mm] $\frac{\partial u}{\partual x}$). [/mm] Und du hast $Re(f) [mm] Re(f)_x [/mm] = -Im(f) [mm] Im(f)_x$ [/mm] und $Re(f) [mm] Re(f)_y [/mm] = -Im(f) [mm] Im(f)_y$.
[/mm]
Also ist [mm] $Re(f)_x [/mm] = [mm] -\frac{Im(f)}{Re(f)} Im(f)_x$. [/mm] Nach den CR-DGln von $f$ ist [mm] $-\frac{Im(f)}{Re(f)} Im(f)_x [/mm] = [mm] \frac{Im(f)}{Re(f)} Re(f)_y$. [/mm] Und jetzt kannst du die zweite Gleichung von $abs(f)$ nehmen und dann die andere CR-DGl von $f$, und du bekommst [mm] $Re(f)_x [/mm] = [mm] -\lambda^2 Re(f)_x$ [/mm] fuer eine reelle Zahl [mm] $\lambda$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:46 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi,
schöner Beweis :) ist ja gar nicht so schwer wenn man weiss dass f holomorph ist =)
Zum schluss muss man ja nur noch folgern , dass aus $ [mm] Re(f)_x [/mm] = [mm] -\lambda^2 Re(f)_x [/mm] $ folgt dass dia Ableitung = ist und dadurch die Funktion konstant.
Nun habe ich nur noch eine frage zu deinem beweis: wie kommst du darauf , dass abs(f) konstant ist. Du hast geschrieben : ja dan wissen wir ja dass abs(f) konstant ist, und ich bin mir nicht sicher woraus ich das folgern kann, etwas aus meien DGL von abs(f) ??
Ich meine, der Beweis würde auch ohne das Argunemnt dass abs(f) konstant ist stimmen oder nicht?weil wir benutzen ja nur die Gleichungen von abs(f) und zusammen mit den Gleichungen von f schliessen wir ja darauf dass f nun konstant sein muss.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
Also es ist mir klar dass mann das Argument braucht dass abs(f) onstant ist=)
Das einzige was ich noch wissen will, ist woraus man schliessen kann dass abs(f) konstant ist und dann habe ich alles verstanden =)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 26.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi,
wie dumm von mir ;) das kann man ja einfach aus den pariellen ableitunger schliessen dass abs(f) konstant ist =) lol
ich wollte dir noch für deine Mühe danken und wünsche dir ein schönes Wochenende.
mfg jeff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Jeff,
> wie dumm von mir ;) das kann man ja einfach aus den
> pariellen ableitunger schliessen dass abs(f) konstant ist
> =) lol
kommt vor sowas 
> ich wollte dir noch für deine Mühe danken und wünsche dir
> ein schönes Wochenende.
Danke und dir auch ein schoenes Wochenende!
LG Felix
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Beschäftige mich auch mit der Aufgabe und heute wurde noch extra gesagt, dass diese Aufgabe so richtig gestellt ist, wie Jeff sie anfangs gestellt hat, also nirgends ein Hinweis, dass f holomorph sei, nur der Betrag von f ist holomorph.
Kann man denn dann auch anders zeigen, dass aus Betrag f konstant folgt, dass f konstant sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beschäftige mich auch mit der Aufgabe und heute wurde noch
> extra gesagt, dass diese Aufgabe so richtig gestellt ist,
> wie Jeff sie anfangs gestellt hat, also nirgends ein
> Hinweis, dass f holomorph sei, nur der Betrag von f ist
> holomorph.
>
> Kann man denn dann auch anders zeigen, dass aus Betrag f
> konstant folgt, dass f konstant sein muss?
nein, das ist unmöglich, siehe hier.
Wenn Du willst, gebe ich Dir auch mal ein konkretes Gegenbeispiel:
Sei $f: U [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $U:=D:=\{z \in \IC: |z| < 1\}$. [/mm] Sei [mm] $S^1=\partial D=\{z \in \IC: |z|=1\}$.
[/mm]
Wir definieren $f$ durch $f(0):=1$ und für $z [mm] \in [/mm] D [mm] \setminus\{0\}$ [/mm] sei $f(z)$ der eindeutig bestimmte Punkt auf [mm] $S^1$, [/mm] der zudem auf der Halbgeraden, die in $0=0+i*0$ startet und den Richtungsvektor $z$ hat, liege.
(Ist $z [mm] \in [/mm] D [mm] \setminus\{0\}$, [/mm] so hat $z$ genau eine Darstellung der Art [mm] $z=r*e^{i*\phi}$ [/mm] mit $r=|z|$ und (genau) einem [mm] $\phi \in [0,2\pi)$. [/mm] Für [mm] $z=r*e^{i*\phi}$ [/mm] wird dann [mm] $f(z):=e^{i*\phi}$ [/mm] definiert.)
Offensichtlich ist [mm] $f(D)=S^1$, [/mm] woraus $|f|(z)=|f(z)|=1$ für alle $z [mm] \in [/mm] D$ folgt. Das heißt, hier ist $|f|$ konstant und damit insbesondere holomorph auf $U=D$.
Aber:
$f$ ist nicht konstant. Denn offensichtlich gilt für [mm] $-\frac{1}{2}, [/mm] 0 [mm] \in [/mm] D=U$:
$f(0)=1$ und [mm] $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Fr 25.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Jeff
> Man zeige: Ist f: [mm]U=>\IC (U\subset\IC[/mm] Gebiet) eine
> Funktion und abs(f) holomorph, dann ist f konstant.
Entweder hast du hier was vergessen, oder die Aussage ist schlichtweg falsch. Man kann hier ja fuer $f$ jede beliebige Funktion nehmen, die von $U$ nach [mm] $\{ z \in \IC \mid |z| = 1 \}$ [/mm] geht -- und davon gibt es sehr sehr viele, fast alle davon nichtmals stetig und insbesondere nicht konstant --, und dann ist $abs(f)$ konstant, also insbesondere holomorph.
Meinst du vielleicht, dass sowohl $f$ wie auch $abs(f)$ holomorph sind?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 26.04.2008 | | Autor: | anstei |
Der Satz der Gebietstreue besagt aber, dass holomorphe, nicht konstante Funktionen Gebiete auf Gebiete abbilden, also insbesondere offene Mengen auf offene Mengen. Die [mm] S^1 [/mm] hat aber keine offene Teilmenge!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Andreas
> Der Satz der Gebietstreue besagt aber, dass holomorphe,
> nicht konstante Funktionen Gebiete auf Gebiete abbilden,
> also insbesondere offene Mengen auf offene Mengen. Die [mm]S^1[/mm]
> hat aber keine offene Teilmenge!
Es steht allerdings nirgendwo, dass $f$ holomorph sein soll. Es wird nur von $abs(f)$ holomorph geredet, und wenn $abs(f)$ konstant ist ist's ja auch insbesondere holomorph.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Satz der Gebietstreue besagt aber, dass holomorphe,
> nicht konstante Funktionen Gebiete auf Gebiete abbilden,
> also insbesondere offene Mengen auf offene Mengen. Die [mm]S^1[/mm]
> hat aber keine offene Teilmenge!
Konsequenz:
Jede von felixf angegebene Funktion $f: U [mm] \to S^1$ [/mm] kann nicht holomorph sein. Allerdings, wie schon bereits erwähnt, ist in der Aufgabenformulierung gar nicht davon die Rede, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] als holomorph vorausgesetzt wird, sondern man spricht nur davon, dass [mm] $\black{|f|}$ [/mm] holomorph sein soll. Zumindest, wenn die Aufgabe so wortwörtlich abgeschrieben worden ist und da nicht in Wahrheit steht:
Ist $f: U [mm] \to \IC$ ($U\subset\IC [/mm] $ Gebiet) eine holomorphe Funktion mit [mm] $\black{|f|}$ [/mm] holomorph, dann ist [mm] $\black{f}$ [/mm] konstant.
Denn für irgendeine Funktion $f: U [mm] \to \IC$ [/mm] (mit $U [mm] \subset \IC$ [/mm] Gebiet) kann ich nicht den Satz der Gebietstreue auf [mm] $\black{f}$ [/mm] anwenden, wenn ich noch nichtmal weiß, dass $f$ holomorph ist. Und jede unstetige Funktion $f: U [mm] \to \IC$ [/mm] ist ja schon mal mit Sicherheit erst recht nicht holomorph auf $U$...
Gruß,
Marcel
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