aus Lip.- stetig folgt stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 08.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich arbeite gerade die Vorlesung Analysis II nach und bin auf eine Bemerkung gestoßen, die ich nicht zu 100% verstehe und auch Probleme habe diese explizit zu beweisen.
Bemerkung :
Lipschitz stetig [mm] \Rightarrow [/mm] lokal Lipschitz- stetig [mm] \Rightarrow [/mm] stetig.
Ich weiß noch, dass aus der Lipschitz - Stetigkeit die Gleichmäßige Stätigkeit folgt und daraus natürlich dann die Stetigkeit.
Es ist auch nachvollziehbar ,dass aus der Lipschitz - Stetigkeit die lokale Lipschitz - Stetigkeit, aber warum folgt aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit die normale Stetigkeit???
Und wie beweise ich denn die Bemerkung?
Kann ich einfach sagen, da, wenn etwas Lipschitz-stetig ist, ich mir einfach ein x herausnehme und eine Umgebung um dieses x betrachte. Und dann die Funktion in dieser Umgebung lokal L - stetig ist?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Guten Tag alle zusammen!
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> Ich arbeite gerade die Vorlesung Analysis II nach und bin
> auf eine Bemerkung gestoßen, die ich nicht zu 100% verstehe
> und auch Probleme habe diese explizit zu beweisen.
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> Bemerkung :
>
> Lipschitz stetig [mm]\Rightarrow[/mm] lokal Lipschitz- stetig
> [mm]\Rightarrow[/mm] stetig.
>
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> Ich weiß noch, dass aus der Lipschitz - Stetigkeit die
> Gleichmäßige Stätigkeit folgt und daraus natürlich dann die
> Stetigkeit.
so ist da falsch rum! wenn es ne globale Lipschitzkonstante gibt, dann ist die fkt gleichmaäßig stetig, nicht umgekehrt.
> Es ist auch nachvollziehbar ,dass aus der Lipschitz -
> Stetigkeit die lokale Lipschitz - Stetigkeit, aber warum
> folgt aus der lokalen Lipschitz-Stetigkeit die normale
> Stetigkeit???
Was nennst du "normale" Stetigkeit? doch wohl Stetigkeit in einem Punkt. und was ist "lokale" Lipschitzstetigkeit? in einem Punkt? das musst du bei der Def nachlesen. Wenn ja, dann ist ja klar wie du dein [mm] \delta [/mm] zu [mm] \epsilon [/mm] findest [mm] \delta=\epsilon/L
[/mm]
> Und wie beweise ich denn die Bemerkung?
> Kann ich einfach sagen, da, wenn etwas Lipschitz-stetig
> ist, ich mir einfach ein x herausnehme und eine Umgebung
> um dieses x betrachte. Und dann die Funktion in dieser
> Umgebung lokal L - stetig ist?
>
> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Ich hoff, ich hab deine Frage verstanden. Wichtig dabei ist, dass Stetigkeit erstmal immer eine lokale Eigenschaft ist, d.h. f ist an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig wenn...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Di 08.07.2008 | | Autor: | ron |
Hallo,
der Gedankengang ist schon gar nicht so schlecht, nur fehlt etwas der Schluss.
Bei Beweisen oder Bemerkungen sollten man sich immer die Beziehungen anschauen. Damit meine ich, ob aus der stärkeren Einschränkung heraus argumentiert wird oder von einer Grundvoraussetzung gestartet wird.
In der Bemerkung startet man in der stärksten Behauptung und diese gilt für die gesamte Funktion, also ganz sicher auch in einer Einschränkung von f (aus globaler folgt immer auch lokale Gültigkeit).
Jetzt ist die lokale Lip-Stetigkeit für einen bestimmten Parameter für f gewährleistet. Für die Stetigkeit brauche ich ja "nur" eine passende Umgebung schaffen, na da nehmen ich halt diese der lokalen Lip-Stetigkeit, fertig. Denn die lokale Lip-Stetigkeit ist stärker als lokale Stetigkeit.
Kleiner Hinweis: In der Lip-Stetigkeit versteckt sich die Differenzierbarkeit und aus der Differenzierbarkeit einer Funktion in der Stelle a folgt auch die Stetigkeit (Umkehrung dieser Aussage ist oft falsch!)
Hoffe es hilft weiter.
Gruss
Ron
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Di 08.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die rasche Antwort! Ihr habt mir sehr geholfen.. Jetzt habe ich das Verständnis dafür und jetzt vesuche ich einfach mal formal zu zeigen. Wenn ich nicht weiterkomme, werde ich mich nochmal melden  .
Viele Grüße
Irmchen
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