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| Aufgabe | Grundkurs Mathematik (Baden-Württemberg): Abiturprüfung 1996
Analysis I.1.
Für jedes t ist eine Funktion ft gegeben durch
ft (x) = (x - 1)²(t - x); x Î IR. Ihr Graph sei Kt .
a) Untersuchen Sie K-1 auf gemeinsame Punkte mit den
Koordinatenachsen. Die Gerade durch die Kurvenpunkte P
und R von K-1 (siehe nebenstehende Skizze) schneidet K-1 in
einem weiteren Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von
S.
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von K-1 und der x-
Achse begrenzt wird.
b) Zeigen Sie, daß der Graph K1 keine Extrempunkte besitzt.
Bestimmen Sie für t > 1 die Extrempunkte von Kt.
Untersuchen Sie für t > 1 , ob man t so bestimmen kann, daß
die Gerade durch die Extrempunkte die Steigung 2
9
hat.
x
y
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
-0.5
-1
-1.5
-2
f -1
Graph für t = -1
c) Der Punkt Pt(t| 0) (liegt auf Kt, der Punkt Pt* (t*| 0) auf Kt*; t ¹ t*. Die Tangente an Kt in Pt soll
parallel sein zur Tangente an Kt* in Pt*. Welcher Zusammenhang besteht dann für t ¹ 1 zwischen t
und t*?
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brauche lösungen zu abi96 aufgaben!analysis bis aufgabenteil c.
ps:da gehört noch eine skizze dazu
unter diesem link findet man nocheinmal die aufgabe. eventuell dort besser leserlich
http://www.thomas-unkelbach.de/m/abi/BW/gk%201996%20analysis-analytische%20geometrie.pdf
is ne pdf datei
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 06.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Grundkurs Mathematik (Baden-Württemberg): Abiturprüfung
> 1996
> Analysis I.1.
> Für jedes t ist eine Funktion ft gegeben durch
> ft (x) = (x - 1)²(t - x); x Î IR. Ihr Graph sei Kt .
> a) Untersuchen Sie K-1 auf gemeinsame Punkte mit den
> Koordinatenachsen. Die Gerade durch die Kurvenpunkte P
> und R von K-1 (siehe nebenstehende Skizze) schneidet K-1
> in
> einem weiteren Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von
> S.
> Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von K-1 und der
> x-
> Achse begrenzt wird.
Hier suchst du die Nullstellen von [mm] f_{t}(x)=(x-1)²*(t-x)
[/mm]
und den y-Achsenabschnitt [mm] f_{t}(0)
[/mm]
Diese werden zum Teil aber noch in Abhängigkeit von t sein.
Dann bestimme mal die Gerade g(x) durch P und R (Was auch immer das für punkte sein mögen) Oder sollst du das allgemein lösen, umd zwei Punkte auf [mm] f_{\red{-1}}=(x [/mm] - [mm] 1)²(\red{-1}-x) [/mm] hernehmen?
Auf jeden Fall stelle die Gerade g auf, und bestimme dann die Schnittpunkte von g und [mm] f_{-1}(x).
[/mm]
Hast du diese Schnittpunkte [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] berechne mal folgendes:
[mm] \left|\integral_{x_{1}}^{x_{2}}f_{t}(x)-g_{t}(x)dx\right|+\left|\integral_{x_{2}}^{x_{3}}f_{t}(x)-g_{t}(x)dx\right|
[/mm]
> b) Zeigen Sie, daß der Graph K1 keine Extrempunkte
> besitzt.
Zeige, entweder:
[mm] f_{\green{1}}'(x)\ne0,
[/mm]
oder, falls es doch Nullstellen [mm] x_{e} [/mm] von [mm] f_{\green{1}}'(x) [/mm] gibt, dass dann auch [mm] f_{\green{1}}''(x_{e})=0
[/mm]
> Bestimmen Sie für t > 1 die Extrempunkte von Kt.
Die beiden Extrempunkte nenne mal
[mm] E_{1}(x_{e_{1}}/f(x_{e_{1}})
[/mm]
und [mm] E_{2}(x_{e_{2}}/f(x_{e_{2}})
[/mm]
Notwendig für beide ist:
[mm] f_{t}'(x_{e})=0 [/mm]
Hinreichend: [mm] f_{t}''(x_{e})\ne0
[/mm]
Dann ist [mm] E(x_{e}/f(x_{e})) [/mm] mit dem noch zu berechnenden [mm] f_{t}(x_{e}) [/mm] ein Extrempunkt.
> Untersuchen Sie für t > 1 , ob man t so bestimmen kann,
> daß
> die Gerade durch die Extrempunkte die Steigung 2
> 9
> hat.
Hier berechen mal die Steigung der Gerden durch [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}
[/mm]
Also: [mm] m=\bruch{f(x_{e_{2}})-f(x_{e_{1}})}{x_{e_{2}}-x_{e_{1}}}
[/mm]
Und daraus bestimme dann das t so dass gilt:
[mm] \bruch{2}{9}=\bruch{f(x_{e_{2}})-f(x_{e_{1}})}{x_{e_{2}}-x_{e_{1}}}
[/mm]
> x
> y
> -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
> 0.5
> 1
> 1.5
> -0.5
> -1
> -1.5
> -2
> f -1
> Graph für t = -1
Was soll das sein? Eine Wertetabelle?
> c) Der Punkt Pt(t| 0) (liegt auf Kt, der Punkt Pt* (t*| 0)
> auf Kt*; t ¹ t*. Die Tangente an Kt in Pt soll
> parallel sein zur Tangente an Kt* in Pt*. Welcher
> Zusammenhang besteht dann für t ¹ 1 zwischen t
> und t*?
Bestimme doch mal die Steigungen der Tangenten und setze diese gleich (Tangenten sollen parallel sein)
Dann solltest du den Zusammenhang bekommen.
>
> brauche lösungen zu abi96 aufgaben!analysis bis
> aufgabenteil c.
> ps:da gehört noch eine skizze dazu
> unter diesem link findet man nocheinmal die aufgabe.
> eventuell dort besser leserlich
>
> http://www.thomas-unkelbach.de/m/abi/BW/gk%201996%20analysis-analytische%20geometrie.pdf
> is ne pdf datei
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das muss jetzt erstmal reichen, da du selber keinerlei Ansätze gegeben hast, was wir eigentlich verlangen. Hast du Rückfragen, stelle sie, aber dann mit dem konkreten Problem.
Marius
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kurze frage:
was bedeutet diese rechnung?
http://teximg6.matheraum.de/static/5/2/00927025.png
ich bin in der 11. klasse
weiß noch gar nicht was diese komischen geschweifet zeichen vor der rechnung bedeuten
gibt es da noch einen anderen rechenweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 06.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Teilaufgabe musst du mit Hilfe der Integralrechnung lösen. Wenn ihr diese noch nicht gemacht habt, ist diese Aufgabe definitiv (noch) nicht lösbar.
Marius
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ich bekomme bei der ersten frage schnitte mit den koordinatenachsen, bekomm ich bei schnitt mit der x- achse iwie nur eine nullstelle heraus und zwar:
x=t
ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 06.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nicht ganz:
[mm] f_{t}(x)=(x-1)²*(t [/mm] - x)
Und nach dem Satz, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null wird, muss gelten:
[mm] x^{2}-1=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm1
[/mm]
uder t-x=0 und damit x=t
Also hast du drei Nullstellen, (ausser für [mm] t=\pm1)
[/mm]
Marius
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bei aufgabenteil b) "bestimmen sie für t>1 die extrempunkte von Kt.
muss ich da dann mit 2 variablen t und x rechnen odr soll ich für t einen zahl nehmen?
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Hallo karlheinz,
> bei aufgabenteil b) "bestimmen sie für t>1 die extrempunkte
> von Kt.
> muss ich da dann mit 2 variablen t und x rechnen odr soll
> ich für t einen zahl nehmen?
>
Das musst mit zwei Variablen rechnen, und die Extrempunkte in Abhängigkeit von t bestimmen.
>
Gruß
MathePower
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bei aufgabenteil b : bestimmen sie für t >1 die extrempunkte von Kt
wie soll man x in abhängigkeit von t ausrechnen wenn wir 2 variablen haben und keine der beiden ausklammern können???
Rechenweg oder ansatz
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> bei aufgabenteil b : bestimmen sie für t >1 die
> extrempunkte von Kt
>
> wie soll man x in abhängigkeit von t ausrechnen wenn wir 2
> variablen haben und keine der beiden ausklammern können???
> Rechenweg oder ansatz
Hallo,
die Funktion ist
[mm] f_t [/mm] (x) = (x - 1)²(t - x).
Das t ist keine variable, es ist ein Parameter, welcher während Deiner Rechnung fest bleibt. Er ist zwar beliebig, aber fest.
Dieser Parameter erspart es Dir, daß Du furchtbar viele Kurvendiskussionen z.B. für t=2, 2.3, [mm] \wurzel{7} [/mm] durchführen mußt.
Während der Kurvendiskussion behandle das t so, als stünde dort irgendeine Zahl.
Entweder, Du differenzierst mit Produktregel (und Kettenregel), Du kannst aber natürlich auch die Klammern komplett ausmultiplizieren und dann differenzieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:57 Mo 07.07.2008 | | Autor: | karlheinz |
wenn man den y-Wert von dem 2. extrempunkt (x= (3+2t)/3) ausrechnet, bekomme ich nichts gescheites raus.. beim ersten extrempunkt x= 1 bekomme ich dagegen 0 raus, was mir logisch erscheint... ich benötige diesen jedoch für den weiteren aufgabenteil (steigung 2/9).. wie komme ich weiter????
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> wenn man den y-Wert von dem 2. extrempunkt (x= (3+2t)/3)
> ausrechnet, bekomme ich nichts gescheites raus..
Hallo,
was bekommst Du denn heraus, und warum ist das nicht gescheit?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 07.07.2008 | | Autor: | karlheinz |
ich bekomme -20t³-156t²-396t-324/9 heraus
bei dem anderen extrempunkt ist der y wert 0.
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Hallo,
ich krieg' da was anderes.
Du mußt Dein errechnetes x ja jetzt in die Funktion einsetzen, wenn Du den Funktionswert an der Stelle wissen willst.
Kannst ja mal vorrechnen, was Du tust.
Hast Du eigentlich schon geguckt, welche Art Extremwert Du an den beiden Stellen hast?
Gruß v. Angela
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bei aufgabenteil c : setzt man Pt und Pt* in der obrigen funktion ft(x) ein bekommt man beide male einen y-wert von 0 heraus.. kann es sein dass die shcaubilder beide male eine gerade auf der x-Achse darstellen??
was macht dann der letzte aufgabenteil (welcher zusammenhang besteht dann für t ungleich 1 zwischen t und t*) für einen sinn???
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> bei aufgabenteil c : setzt man Pt und Pt* in der obrigen
> funktion ft(x) ein bekommt man beide male einen y-wert von
> 0 heraus.. kann es sein dass die shcaubilder beide male
> eine gerade auf der x-Achse darstellen??
> was macht dann der letzte aufgabenteil (welcher
> zusammenhang besteht dann für t ungleich 1 zwischen t und
> t*) für einen sinn???
Hallo,
im letzten Aufgabenteil betrachtet man die beiden Funktionen [mm] f_t [/mm] und [mm] f_{t^{\*}}
[/mm]
und deren Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) [mm] P_t(t/0) [/mm] und [mm] P_{t^{\*}}(t^{\*}/0).
[/mm]
Man interessiert sich für die Tangenten an die Graphen in diesen Punkten, und die Frage ist nun, wie t und [mm] t^{\*} [/mm] beschaffen sein müssen, damit die beiden Tangenten parallel sind.
Gruß v. Angela
P.S.: mach Dich bitte mit dem Formeleditor vertraut, Eingabhilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters. Mit Indizes, Exponenten, ggf. Brüchen usw. liest und versteht sich alles viel einfacher - das sollte auch in Deinem Interesse sein, denn es steigert die Wahrscheinlichkeit für eine schnelle Antwort.
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wie rechne ich diese rechnung aus??
y=((2t+1/3)-1)²*(t-(2+1/3)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Di 08.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wie rechne ich diese rechnung aus??
> y=((2t+1/3)-1)²*(t-(2+1/3)
[mm] 1.(2t+1/3)-1)²=2t-2/3)^2 [/mm] nach binomischer Formel zuerst rechnen. Danach mit t-7/3) multiplizieren nach Klammerregeln.
Aber ich glaube, du willst das x vom Extremwert in [mm] f_t [/mm] einstzen. dann ist das da oben falsch.
[mm] x_M=(2t+1)/3 x_M-1=(2t+1-3)/3=(2t-2)/3 [/mm] und [mm] f_t(x_M)=(2t-2)^2/3^2*(t-1)/3
[/mm]
schreib bitte deine Zwischenergebnisse und sei weniger leichtsinnig mit den Formeln.
Gruss leduart
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