auf Äquivalenzrelation prüfen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:15 So 17.11.2013 | | Autor: | mathemars |
| Aufgabe | Betrachten Sie jeweils die Menge M mit der Relation ~ und entscheiden Sie, ob die
Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist. Geben Sie fur den Fall, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, die Äquivalenzklassen sowie ein zugehoriges Repräsentantensystem an.
a) M = [mm] P(\IZ); [/mm] X [mm] \sim [/mm] Y genau dann, wenn X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset.
[/mm]
b) M = [mm] \IN \times \IN; [/mm] (a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b') genau dann, wenn a * b' = a' * b. |
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a)
[mm] (\{1\},\{1\}) \in \IZ \times \IZ, [/mm] aber [mm] (\{1\},\{1\}) \not\in [/mm] R(elation)
=> nicht reflexiv
X [mm] \sim [/mm] Y heißt X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset, [/mm] also auch Y [mm] \cap [/mm] X = [mm] \emptyset, [/mm] folglich Y [mm] \sim [/mm] X
=> symmetrisch => nicht antisymmetrisch
[mm] (\{1\},\{2\}) \in [/mm] R und [mm] (\{2\},\{1\}) \in [/mm] R, aber [mm] (\{1\},\{1\}) \not\in [/mm] R
=> nicht transitiv
=> keine Äquivalenzrelation
Sind die Begründungen so in Ordnung?
b)
hier bin ich mir insgesamt sehr unsicher...
(a,b) [mm] \in [/mm] R => ((a,b),(a,b)) [mm] \in [/mm] R, da a * b = b * a
=> reflexiv
Wenn (a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b'), dann a * b' = a' * b, damit auch a' * b = a * b', also (a',b') [mm] \sim [/mm] (a,b)
=> symmetrisch
Wenn a * b = a' * b und a' * b = c, dann auch a * b = c
=> transitiv
Wie ich die Äquivalenzklassen und das Repräsentantensystem angeben soll, weiß ich leider nicht.
Ist die Äquivalenzklasse vielleicht [a,b] = {(a',b') [mm] \in [/mm] M| a * b' = a' * b} ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 So 17.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen im Matheraum!
Das sieht doch schon ganz gut aus!
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> a)
>
> [mm](\{1\},\{1\}) \in \IZ \times \IZ,[/mm] aber [mm](\{1\},\{1\}) \not\in[/mm]
> R(elation)
> => nicht reflexiv
Hier meinst du sicher [mm] $(\{1\},\{1\}) \in P(\IZ) \times P(\IZ)$, [/mm] aber inhaltlich ist alles ok.
>
> Sind die Begründungen so in Ordnung?
Jup, alles super!
>
> b)
> hier bin ich mir insgesamt sehr unsicher...
> => reflexiv
>
Genau.
> => symmetrisch
Genau.
> Wenn a * b = a' * b und a' * b = c, dann auch a * b = c
> => transitiv
>
Das musst du noch etwas ausführlicher machen. Starte mit ab'=a'b und a'b''=a''b' und folgere dann ab''=a''b.
> Wie ich die Äquivalenzklassen und das
> Repräsentantensystem angeben soll, weiß ich leider
> nicht.
> Ist die Äquivalenzklasse vielleicht $[a,b] = [mm] \{(a',b') \in M| a * b' = a' * b\}$ [/mm] ?
Ja, also die Äquivalenzklasse von $(a,b)$ ist $[a,b] = [mm] \{(a',b') \in M\times M| a * b' = a' * b\}$. [/mm] z.B. ist $[1,1] = [mm] \{(a',b') \in M\times M| b' = a'\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),\ldots\}$. [/mm] Nun sollst du die Menge aller Äquivalenzklassen bestimmen! Dabei ist zu beachten, dass nicht immer $[a,b] [mm] \not= [/mm] [c,d]$ gilt, wenn sich die Repräsentanten unterscheiden. Zum Beispiel ist [2,5]=[8,20] oder [6,7]=[12,14]. Du musst jetzt schauen, welche Wert für $a,b$ die verschiedene Äquivalenzklassen geben!
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Muss ich bei der Transitivität nicht zeigen, dass aus x R y und y R z, x R z folgt?
Angenommen (a * b') R (a' * b), muss ich dann nicht mit (a' * b) R ... weiter mchen?
Ist die Äquivalenzklasse $[a,b] = [mm] \{(a',b') \in M\times M| a * b' = a' * b\}$ [/mm] oder $[a,b] = [mm] \{(a',b') \in M | a * b' = a' * b\}$ [/mm] ? Ich dachte M wäre schon [mm] \IN \times \IN
[/mm]
Wenn a = b, dann a' = b' und wenn a [mm] \not= [/mm] b, dann a' = k * a und b' = k * b.
Aber weiter komme ich leider nicht.
Und was wäre dann das Repräsentantensystem?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 So 17.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Ah, ich wollte folgende Bezeichnungen verwenden:
$(a,b)R(a',b')$ und $(a',b')R(a'',b'')$. Daraus musst du nun $(a,b)R(a'',b'')$ folgern, ja.
Sorry wegen dem $M$, du hast Recht, es gilt ja schon [mm] $M=\IN\times \IN$. [/mm] $ [a,b] = [mm] \{(a',b') \in M | a \cdot{} b' = a' \cdot{} b\} [/mm] $ ist richtig.
Beim Repräsentantensystem musst du nochmal schauen. Im Klartext wollen die von dir wissen, welche Äquivalenzklassen es gibt, ohne welche doppelt zu nennen. Also $[1,1]$ und $[2,2]$ aufzählen wäre schon falsch.
Nehmen wir mal eine Äquivalenzklasse [mm] $[a,b]=\{(a',b')\in M| ab'=a'b\}$. [/mm] Was passiert denn z.B. wenn a und b einen gemeinsamen Teiler besitzen?
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Wäre das Repräsentantensystem dann {[a,b] [mm] \in [/mm] M| ggT (a,b) = 1 } ?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wäre das Repräsentantensystem dann {[a,b] [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M| ggT
> (a,b) = 1 } ?
Ja.
LG Angela
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