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auf Differenzierbarkeit prüfen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Mi 07.09.2011
Autor: Raingirl87

Aufgabe
Ist die Funktion

[mm]f(x) = e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] für x>0
      0 sonst

differenzierbar im Nullpunkt?

Hallo!
Um zu zeigen, dass die Funktion in x=0 differenzierbar ist, bestimmt man ja den Grenzwert gegen [mm]0^{-}[/mm] und [mm]0^{+}[/mm] von [mm]\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm] ....
Gegen [mm]0^{+}[/mm] hab ich das auch hinbekommen...

[mm]\limes_{x\rightarrow0^{+}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}-0}{x-x0}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow0^{+}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{e^{n}}[/mm] = 0

Aber kommt bei dem Folgenden denn auch 0 raus? Und wenn ja, wieso?

[mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}-0}{x-x0}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{-\bruch{1}{-\bruch{1}{n}}}}{-\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*(-n)[/mm] = ???


Um die Differenzierbarkeit zu zeigen muss dann nur noch f(0) auch 0 ergeben, oder?
Danke schonmal!
Gruß, Raingirl87


        
Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mi 07.09.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Für [mm] x\to0^{-} [/mm] gilt doch:

[mm] \limes_{h\to0}\frac{f(0-h)-f(0)}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\frac{0-0}{h} [/mm]

Jetzt häst du aber den Fall [mm] \frac{0}{0} [/mm]

Also bietet sich l'Hosptial an.

Hier dann:

[mm] =\limes_{h\to0}\frac{0}{h}=\limes_{h\to0}\frac{0}{1}=0 [/mm]


Marius


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Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 07.09.2011
Autor: Raingirl87

So ganz versteh ich das mit dem h nicht...
Es gilt also [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0} = \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x0-h)-f(x0)}{h}[/mm] ?
Gilt die Formel immer?
--> [mm] \limes_{h\rightarrow0}=\bruch{e^{-\bruch{1}{-h}}}{e^{-\bruch{1}{h}}} [/mm]
Und hier ersetze ich jetzt h durch [mm] \bruch{1}{n}? [/mm]
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n}}{e^{-n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*e^{n} [/mm] = 0*0 = 0
Stimmt das jetzt so? Kann ich h eigentlich auch x nennen? Muss man überhaupt links- und rechtsseitigen GW betrachten oder reicht es wenn man nur den Grenzwert gegen xo betrachtet?
Raingirl87



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Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Mi 07.09.2011
Autor: reverend

Hallo Raingirl,

die Funktionsvorschrift lautet doch für [mm] x\le{0} [/mm] : f(x)=0. Die Grenzwertbildung gegen [mm] 0^{-} [/mm] ist von daher nicht aufwändig, und l'Hospital brauchst Du in der Tat eigentlich gar nicht.

Grüße
reverend


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Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: 2. Antwort ;-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Mi 07.09.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

inzwischen hast Du Deine Frage mehrfach editiert. Ich gehe mal auf die vorliegende (5.) Fassung ein:

> So ganz versteh ich das mit dem h nicht...
> Es gilt also [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0} = \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x0-h)-f(x0)}{h}[/mm]
> ?

Nein. Wenn Du [mm] x=x_0-h [/mm] setzt, dann setzt Du hier also [mm] h\to 0^{+} [/mm] voraus und solltest es auch so unter den rechten Grenzwert schreiben. Vor allem aber ergibt [mm] x-x_0=x_0-h-x_0 [/mm] nicht h, sondern -h.

>  Gilt die Formel immer?

Was heißt immer? Wenn sie erstmal korrigiert ist, ist sie in der Tat noch so allgemein, dass man sie auf alles mögliche anwenden kann.

>   -->

> [mm]\limes_{h\rightarrow0}=\bruch{e^{-\bruch{1}{-h}}}{e^{-\bruch{1}{h}}}[/mm]
>  Und hier ersetze ich jetzt h durch [mm]\bruch{1}{n}?[/mm]

Nein, mal abgesehen davon, dass die Notation mit dem Gleichheitszeichen direkt nach dem Limes nicht möglich ist, setzt Du doch außerdem [mm] x_0=0. [/mm] Und wo kommt die Exponentialfunktion im Nenner her? Da stand doch gar kein f(x), sondern nur -h.

Außerdem wendest Du (siehe meine erste Antwort) die Funktionsvorschrift falsch an! Für alle [mm] x\le0 [/mm] ist f(x)=0.

Zu untersuchen ist hier (linksseitiger Grenzwert) also dies:
[mm] \lim_{h\to 0^+}\bruch{f(0-h)-f(0)}{-h}=\lim_{h\to 0^+}-\bruch{0-0}{h}=0 [/mm]

>  --> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n}}{e^{-n}}[/mm] =

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*e^{n}[/mm] = 0*0 = 0

Mal abgesehen davon, dass der Rechenschritt davor schon falsch war, ist dies Humbug. Du ersetzt gerade (richtig) [mm] \tfrac{1}{h}=n [/mm] und lässt [mm] n\to\infty [/mm] laufen. Aber da kommt doch nicht Null heraus...

>  Stimmt das jetzt so? Kann ich h eigentlich auch x nennen?

Du kannst Deinem h jeden Variablennamen geben, den Du willst, sofern er nicht schon verwendet ist oder sonstwie für Uneindeutigkeit sorgt. x ist hier aber schon vergeben, und e würde ich es auch nicht nennen. Was spricht dagegen, einfach bei h zu bleiben? Sonst nimm halt [mm] \delta [/mm] oder [mm] \epsilon [/mm] oder [mm] \hat{q} [/mm] oder sonstwas.

> Muss man überhaupt links- und rechtsseitigen GW betrachten
> oder reicht es wenn man nur den Grenzwert gegen xo
> betrachtet?

Nein, wegen der geteilten Funktionsvorschrift musst Du den links- und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen. Das ist doch gerade der einzige Sinn dieser Aufgabe!

Grüße
reverend


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Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:14 Do 08.09.2011
Autor: Raingirl87

Danke für die Erklärungen! Ich glaube/hoffe ich habs jetzt:
[mm]\limes_{h\rightarrow0+}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0+}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{e^{n}} = 0[/mm]


[mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0-}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm] = 0, da die h´s < 0 sind und die Funktion für <0=0 ist.
[mm][/mm]

Stimmt das jetzt so?
Gruß,
Raingirl87


Bezug
                                        
Bezug
auf Differenzierbarkeit prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Do 08.09.2011
Autor: M.Rex

Hallo


> Danke für die Erklärungen! Ich glaube/hoffe ich habs
> jetzt:
>  [mm]\limes_{h\rightarrow0+}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0+}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{e^{n}} = 0[/mm]

Das ist soweit ok.

>  
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0-}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
> = 0, da die h´s < 0 sind und die Funktion für <0=0 ist.

Das passt so nicht.
Du näherst sich von Links an dier Stelle = an, also aus dem negativen Bereich, und dort ist (LAUT FUNKTIONSVORSCHRIFT) f(x)=0

Also:

[mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{\green{f(0}\red{-}\green{h)}-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0-}\frac{\green{0}-0}{h}=\ldots[/mm]

>
>  
> Stimmt das jetzt so?
>  Gruß,
>  Raingirl87


Marius


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