asymptotische Entwicklung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Sa 19.06.2010 | | Autor: | swetti |
| Aufgabe | [mm] \varepsilon*d^{2}y/dx^{2}+(1+\varepsilon)dy/dx+y=0, x\in[0,1]
[/mm]
y(0)=0, y(1)=1/e
Finden Sie die ersten beiden Terme der inneren und äußeren asymptotischen Entwicklung.
|
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir schon folgende Gedanken zu dieser Aufgabe gemacht, jedoch kriege ich sie alleine nicht ganz gelöst. Für Tipps oder hilfreiche Hinweise wär ich daher echt dankbar 
Es wird im ersten Schritt [mm] \varepsilon=0 [/mm] angenommen und dadurch erhält man dy/dx+y=0 mit y(x)=-Y(x)+C (ich finde Y(x) an der Stelle etwas komisch, aber es ist ja die Aufleitung von y(x), oder ich habe hier bei der Berechnung einem großen Denkfehler..)
1) Bestimmung der äußeren asymptotischen Entwicklung:
Da beide Randbedingungen zu einem Widerspruch führen würden, wird hier erstmal mit der zweiten gearbeitet: y(1)=1/e und damit
y(x)=-Y(x)+Y(1)+1/e
Nun nimmt man die Poincare-Entwicklung an:
[mm] y(x;\varepsilon)\sim\summe_{i=0}^{n}\varepsilon^{n}f_{n}(x)
[/mm]
Dieses eingesetzt in die DGL ergibt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\varepsilon^{n+1}f_{n}^{''}+\varepsilon^{n}f_{n}^{'}+\varepsilon^{n}f_{n}=0
[/mm]
Und mit der Randbedingung:
[mm] y(1;\varepsilon)=1/e \Rightarrow \summe_{i=0}^{n}\varepsilon^{n}f_{n}(1)=1/e [/mm] (*)
Nun erfolgt der Koeffizientenvergleich:
[mm] \varepsilon^{0}: [/mm]
[mm] f_{0}^{'}+f_{0}=0 [/mm]
[mm] f_{0}(1)=1/e [/mm] aus (*), ebenso folgt daraus [mm] f_{n}(1)=0 [/mm] für [mm] 1\le n\le [/mm] p
also [mm] f_{0}(x) [/mm] =-Y(x)+Y(1)+1/e
[mm] \varepsilon^{1}:
[/mm]
[mm] f_{0}^{''}+f_{1}^{'}+f_{1}=0 [/mm]
[mm] f_{1}(1)=0
[/mm]
Hier beomme ich ja [mm] f_{1}^{'}=-f_{0}^{''}-f_{1}=+f_{0}^{'}-f_{1}=-f_{0}-f_{1}.
[/mm]
Aber mein Ziel ist es ja, nur [mm] f_{1} [/mm] zu bestimmen....das kann ich aber nicht, weil ich das [mm] f^{'} [/mm] nicht wegbekomme, entweder habe ich mich hier verrechnet ,stehe total auf dem schlauch oder es gibt hier viell einen Trick ...Wär echt schön, wenn mir hier jmd helfen könnte.
2)Bestimmung der inneren asymptotischen Entwicklung:
Dazu erfolgt durch Reskalierung eine Auflösung der Grenzschicht:
Für [mm] x\in(0,\varepsilon) [/mm] wähle man [mm] \delta=x\varepsilon, \delta\in(0,1)
[/mm]
und [mm] y(x,\varepsilon)= y(\varepsilon*\delta, \varepsilon)= y^{s}(\delta,\varepsilon)
[/mm]
Dies nun in die ursprüngliche DGL eingesetzt:
[mm] 1/\varepsilon*d^{2}y^{s}/d\delta^{2}+1/\varepsilon*dy^{s}/d\delta+dy^{s}/d\delta+y^{s}(\delta*\varepsilon)=0
[/mm]
und damit
[mm] d^{2}y^{s}/d\delta^{2}+(1+\varepsilon)dy^{s}/d\delta= -\varepsilon*y^{s}(\delta*\varepsilon)
[/mm]
hier wähle man nun den Ansatz:
[mm] y^{s}(\delta,\varepsilon) \sim \summe_{n=0}^{q}\varepsilon^{n}*g_{n}(\delta)
[/mm]
mit der Randbedingung [mm] y^{s}(0,\varepsilon)=0
[/mm]
Bis hierhin bin ich gekommen, nun müsste ich ja wieder die Summe in die DGL einsetzten, aber wie ich dann auf die Entwicklung komme, seh ich grad nicht so.
Es wär schön, wenn mir jmd bei dieser Aufgabe helfen könnte.
Vielen Dank schon mal im voraus.
lg swetti
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
