asympt. Stabilität DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Gegeben Sei das System gewöhnlicher [mm] Differentialgleichungen:$$\dot x_1=-3x_1-x_2+(x_1-x_2)\sin (x_1-1)+4,$$ $$\dot \x_2=x_1-2x_2+(x_1-1)^3+2(x_2-1)^2+1.$$
[/mm]
Untersuchen Sie das System auf asymptotische Stabilität im Punkt [mm] $(1,1)^T$.
[/mm]
ac{}{}
HINWEIS: Linearisieren Sie das Problem um den stationären Punkt. |
Guten Tag,
ich bearbeite derzeit diese Aufgabe und habe leider ein paar Probleme.
Ich muss ja zuerst die gemeinsamen Nullstellen von [mm] $f_1(x_1,x_2):=\dot x_1$ [/mm] und [mm] $f_2(x_1,x_2):=\dot x_2$ [/mm] bestimmen.
Hierfür habe ich [mm] $f_1(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $f_2(x_1,x_2)$ [/mm] gleich Null gesetzt und nach [mm] $x_2$ [/mm] umgestellt:
[mm] $f_1(x_1,x_2)=0\Rightarrow x_2=\frac{x_1(\sin (x_1-1)-3)+4}{\sin (x_1-1)+1}$
[/mm]
und:
[mm] $f_2(x_1,x_2)=0\Rightarrow x_2=\frac{3}{2}\sqrt{-\frac{1}{2}(x_1+(x_1-1)^3+\frac{3}{4}}$
[/mm]
Nun habe ich gedacht um die gemeinsamen Nullstellen zu bestimmen setzte ich diese gleich.
Jedoch scheint mir das alles etwas kompliziert.
Kann mir vielleicht jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Baum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Okay, ich glaube ich war auf dem Holzweg.
Ich bin jetzt einfach dem Hinweis nachgegangen und habe das DGL-System um [mm] $(1,1)^T$ [/mm] linearisiert.
Heraus habe ich:
[mm] $\pmat{\dot u\\ \dot v}=\pmat{-3&-1\\1&-2}*\pmat{u\\v}$
[/mm]
Aber wie mache ich jetzt weiter?
Vielen Dank
DerBaum
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Hallo DerBaum,
> Okay, ich glaube ich war auf dem Holzweg.
>
> Ich bin jetzt einfach dem Hinweis nachgegangen und habe das
> DGL-System um [mm](1,1)^T[/mm] linearisiert.
> Heraus habe ich:
> [mm]\pmat{\dot u\\ \dot v}=\pmat{-3&-1\\1&-2}*\pmat{u\\v}[/mm]
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter?
>
Bestimme die Eigenwerte dieser Matrix.
Dann verfahre weiter mit ![[]](/images/popup.gif) diesem.
> Vielen Dank
>
> DerBaum
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > Okay, ich glaube ich war auf dem Holzweg.
> >
> > Ich bin jetzt einfach dem Hinweis nachgegangen und habe das
> > DGL-System um [mm](1,1)^T[/mm] linearisiert.
> > Heraus habe ich:
> > [mm]\pmat{\dot u\\ \dot v}=\pmat{-3&-1\\1&-2}*\pmat{u\\v}[/mm]
>
> >
> > Aber wie mache ich jetzt weiter?
> >
>
>
> Bestimme die Eigenwerte dieser Matrix.
>
Okay, die Eigenwerte habe ich bestimmt:
[mm] $\lambda_1=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}*i$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}*i$
[/mm]
Kann ich hier dann nicht einfach sagen, dass da [mm] $Re(\lambda_1)<0$ [/mm] und [mm] $Re(\lambda_2)<0$, [/mm] gilt, dass das System um den Punkt asymptotisch stabil ist?
Vielen Dank
> Dann verfahre weiter mit
> diesem.
>
>
> > Vielen Dank
> >
> > DerBaum
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DerBaum,
> > Hallo DerBaum,
> >
> > > Okay, ich glaube ich war auf dem Holzweg.
> > >
> > > Ich bin jetzt einfach dem Hinweis nachgegangen und habe das
> > > DGL-System um [mm](1,1)^T[/mm] linearisiert.
> > > Heraus habe ich:
> > > [mm]\pmat{\dot u\\ \dot v}=\pmat{-3&-1\\1&-2}*\pmat{u\\v}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aber wie mache ich jetzt weiter?
> > >
> >
> >
> > Bestimme die Eigenwerte dieser Matrix.
> >
> Okay, die Eigenwerte habe ich bestimmt:
> [mm]\lambda_1=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}*i[/mm]
> [mm]\lambda_2=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}*i[/mm]
>
> Kann ich hier dann nicht einfach sagen, dass da
> [mm]Re(\lambda_1)<0[/mm] und [mm]Re(\lambda_2)<0[/mm], gilt, dass das System
> um den Punkt asymptotisch stabil ist?
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank
>
> > Dann verfahre weiter mit
> >
> diesem.
>
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > DerBaum
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Vielen vielen Dank
Du hast mir sehr geholfen!
Liebe Grüße
DerBaum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
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Hallo DerBaum,
> Gegeben Sei das System gewöhnlicher
> Differentialgleichungen:[mm]\dot x_1=-3x_1-x_2+(x_1-x_2)\sin (x_1-1)+4,[/mm]
> [mm]\dot \x_2=x_1-2x_2+(x_1-1)^3+2(x_2-1)^2+1.[/mm]
> Untersuchen Sie
> das System auf asymptotische Stabilität im Punkt [mm](1,1)^T[/mm].
> ac{}{}
> HINWEIS: Linearisieren Sie das Problem um den stationären
> Punkt.
> Guten Tag,
> ich bearbeite derzeit diese Aufgabe und habe leider ein
> paar Probleme.
>
> Ich muss ja zuerst die gemeinsamen Nullstellen von
> [mm]f_1(x_1,x_2):=\dot x_1[/mm] und [mm]f_2(x_1,x_2):=\dot x_2[/mm]
> bestimmen.
>
> Hierfür habe ich [mm]f_1(x_1,x_2)[/mm] und [mm]f_2(x_1,x_2)[/mm] gleich Null
> gesetzt und nach [mm]x_2[/mm] umgestellt:
> [mm]f_1(x_1,x_2)=0\Rightarrow x_2=\frac{x_1(\sin (x_1-1)-3)+4}{\sin (x_1-1)+1}[/mm]
>
> und:
> [mm]f_2(x_1,x_2)=0\Rightarrow x_2=\frac{3}{2}\sqrt{-\frac{1}{2}(x_1+(x_1-1)^3+\frac{3}{4}}[/mm]
>
> Nun habe ich gedacht um die gemeinsamen Nullstellen zu
> bestimmen setzte ich diese gleich.
> Jedoch scheint mir das alles etwas kompliziert.
>
Die Nullstellen brauchst Du doch nicht zu bestimmen.
Es ist doch nur der Punkt [mm](1,1)^T[/mm]. zu untersuchen.
> Kann mir vielleicht jemand sagen, ob ich auf dem richtigen
> Weg bin?
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Baum
Gruss
MathePower
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