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| Aufgabe | Welche der folgenden Matrizen im Ring [mm] \IR^{2x2} [/mm] sind zeinander assoziiert, welche zueinander konjugiert? (Tipp:Zeilenstufenform bilden, Spur und Determinante testen!)
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -2 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & \pi \\ 0 & 4\wurzel{13} }
[/mm]
und weitere |
assoziiert heiß ja wenn es eine Einheit u [mm] \in \mathcal{E} [/mm] (R) gibt mit ua=b
und konjugiert au=ub
Wieso soll ich jetzt Zeilenstufenform bilden, Spur und Determinante ausrechnen?
Auf was soll ich diese Ergebnisse denn dann vergleichen?
Bedeutet denn der Ring [mm] \IR^{2x2}, [/mm] dass alle 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen enthalten sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 30.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welche der folgenden Matrizen im Ring [mm]\IR^{2x2}[/mm] sind
> zeinander assoziiert, welche zueinander konjugiert?
> (Tipp:Zeilenstufenform bilden, Spur und Determinante
> testen!)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -2 & 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & \pi \\ 0 & 4\wurzel{13} }[/mm]
> und weitere
> assoziiert heiß ja wenn es eine Einheit u [mm]\in \mathcal{E}[/mm]
> (R) gibt mit ua=b
> und konjugiert au=ub
>
> Wieso soll ich jetzt Zeilenstufenform bilden, Spur und
> Determinante ausrechnen?
Nunja, zwei Matrizen sind genau dann assoziiert, wenn sie die geiche reduzierte Zeilenstufenform haben. (Ueberleg dir mal warum!)
Weiterhin sind zwei Matrizen konjugiert, wenn sie den selben Endomorphismus von [mm] $\IR^2$ [/mm] (bzgl. evtl. verschiedener Basen) ausdruecken, sprich wenn ihre Jordansche Normalform gleich ist. Da es $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen sind, ist das char. Poly. durch Spur und Determinante bestimmt; zwei konjugierte Matrizen haben insb. gleiche Spur und Determinante. Wenn dann noch die Dimension der Eigenraeume passt, sind sie auch konjugiert (das geht nur weil's $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen sind!).
> Bedeutet denn der Ring [mm]\IR^{2x2},[/mm] dass alle 2x2 Matrizen
> mit reellen Einträgen enthalten sind?
Ja.
LG Felix
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