arithmetische Progression < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 So 13.05.2007 | | Autor: | Jonny113 |
| Aufgabe | Wir haben in der Vorlesung Restklassen modulo b, also arithmetische Progressionen, d.h. zu gegebenem a,b Mengen der Form {a+nb|n Element N} untersucht.
Zeigen Sie: Jede arithmetische Progression, die eine Quadratzahl und eine Kubikzahl enthält, enthält auch eine sechste Potenz. |
Leider habe ich keinerlei Idee wie ich diese Aufgabe anfangen, geschweige denn beenden soll. Ich habe mir schon viele Gedanken gemacht, allerdings ist die Zahlentheorie für mich immer noch ein Buch mit Sieben Siegeln.
Als Tipp habe ich folgendes erhalten:
a und b müssen nicht teilerfremd sein.
Unterscheide ggT (a,b) = 1
und ggT (a,b)=d
den Chinesischen Restsatz verwenden und eine Induktion nach b vollziehen. Ich habe keine Ahnung, was ich damit anfangen soll.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar. Die Tipps müssen nicht eingehalten werden, vielleicht habt ihr ja andere Ideen.
Vielen lieben Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben in der Vorlesung Restklassen modulo b, also
> arithmetische Progressionen, d.h. zu gegebenem a,b Mengen
> der Form {a+nb|n Element N} untersucht.
> Zeigen Sie: Jede arithmetische Progression, die eine
> Quadratzahl und eine Kubikzahl enthält, enthält auch eine
> sechste Potenz.
Sei $S := [mm] \{ a + n b \mid n \in \IN \}$.
[/mm]
Wenn $S$ eine Quadratzahl enthaelt, so gibt es ein $x [mm] \in \IN$ [/mm] und ein [mm] $n_1 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x^2 [/mm] = a + [mm] n_1 [/mm] b$. Wenn $S$ eine Kubikzahl enthaelt, so gibt es ein $y [mm] \in \IN$ [/mm] und ein [mm] $n_2 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $y^3 [/mm] = a + [mm] n_2 [/mm] b$.
Wenn du das anders aufschreibst, steht da [mm] $x^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$ [/mm] und [mm] $y^3 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$.
[/mm]
Ist andersherum $x', y' [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $(x')^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$ [/mm] und [mm] $(y')^3 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$, [/mm] so gibt es [mm] $n_1', n_2' \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $(x')^2 [/mm] = a + [mm] n_1' [/mm] b$ und [mm] $(y')^3 [/mm] = a + [mm] n_2' [/mm] b$. Problem ist nun , dass [mm] $n_1'$ [/mm] und [mm] $n_2'$ [/mm] auch negativ sein koennen; in dem Fall ersetze $x'$ bzw. $y'$ durch $x' + b$ bzw. $y' + b$. In dem Fall gilt immer noch [mm] $(x')^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$ [/mm] und [mm] $(y')^2 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{b}$, [/mm] jedoch werden [mm] $n_1'$ [/mm] bzw. [mm] $n_2'$ [/mm] echt groesser. Indem du passend oft $b$ hinzuaddierst bekommst du also irgendwann [mm] $n_1' \in \IN$ [/mm] und [mm] $n_2' \in \IN$ [/mm] hin.
Quintessenz: das $S$ eine Quadratzahl bzw. Kubikzahl bzw. sechste Potenz enthaelt, ist dazu aequivalent, dass $a$ in [mm] $\IZ/b\IZ$ [/mm] eine Quadratzahl bzw. Kubikzahl bzw. sechste Potenz ist.
Und damit kannst du jetzt weitermachen.
Mit dem Chinesischen Restsatz kannst du die Aufgabenstellung ersteinmal darauf reduzieren, dass $b$ eine Primzahlpotenz ist, etwa $b = [mm] p^k$.
[/mm]
Ist $ggT(a, b) = 1$, also $p [mm] \nmid [/mm] a$, so hast du das ganze Problem darauf reduziert, dass du in einer endlichen abelschen Gruppe ein Element hast, welches eine zweite und gleichzeitig eine dritte Potenz ist, und du sollst zeigen, dass es auch eine sechste Potenz ist. Das sollte nicht so schwer sein.
Ist $ggT(a, b) > 1$, so gilt $p [mm] \mid [/mm] a$. Versuch dir mal was zu ueberlegen... Ansonsten frag nach :)
LG Felix
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