arith. Form radizieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Malte89 |
| Aufgabe | Für die folgende komplexe Zahl z ist jeweils die arithmetische und die exponentielle (Eulersche Darstellung) anzugeben: [mm] z^4 = 2-2i [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lösung vom Prof für $z_0 = \sqrt[8]{8}e^{-\frac{\pi}{16}i}$ und für $z_1 = \sqrt[8]{8}e^{\frac{7}{16}\pi i}$ |
Ok, ich hab die Formelsammlung aufgeschlagen und nach der Formel von Moivre: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{re^{i \varphi}} = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n}$.
Dann setz ich jetzt mal ein. Ich geh davon aus, dass bei $z_0$:
$k = 1$ und $n=4$
Dann komme ich auf $z_0=\sqrt[8]{8}e^{\frac{\frac{7}{4}+0\cdot \2pi}{4}}$ und komme auf $z_0=\sqrt [8]{8}^{\frac{7}{16}\pi i}$
Maaaan, seht ihr mein Problem:-D? Für einen kleinen Kick wäre ich echt dankbar!
Viele liebe Grüße
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für die folgende komplexe Zahl z ist jeweils die
> arithmetische und die exponentielle (Eulersche Darstellung)
> anzugeben: [mm]z^4 = 2-2i[/mm] Lösung vom Prof für [mm]z_0 = \sqrt[8]{8}e^{-\frac{\pi}{16}i}[/mm]
> und für [mm]z_1 = \sqrt[8]{8}e^{\frac{7}{16}\pi i}[/mm]
> Ok, ich
> hab die Formelsammlung aufgeschlagen und nach der Formel
> von Moivre: [mm]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{re^{i \varphi}} = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n}[/mm].
>
> Dann setz ich jetzt mal ein. Ich geh davon aus, dass bei
> [mm]z_0[/mm]:
> [mm]k = 1[/mm] und [mm]n=4[/mm]
> Dann komme ich auf
> [mm]z_0=\sqrt[8]{8}e^{\frac{\frac{7}{4}+0\cdot \2pi}{4}}[/mm] und
> komme auf [mm]z_0=\sqrt [8]{8}^{\frac{7}{16}\pi i}[/mm]
>
> Maaaan, seht ihr mein Problem:-D?
Ja. Aber ich kann Dich beruhigen: Du hast nichts falsch gemacht, Dein Prof. aber auch nichts.
Das Argument einer komplexen Zahl w, also das [mm] \varphi [/mm] in der Darstellung
$w= [mm] |w|*e^{i \varphi}$
[/mm]
ist natürlich nicht eindeutig bestimmt. Denn es gilt.
$w= [mm] |w|*e^{i \varphi}= |w|*e^{i (\varphi+2k \pi)}$ [/mm] für jedes k [mm] \in \IZ.
[/mm]
In obiger Aufgabe ist w=2-2i.
Ein Argument von w ist [mm] $\bruch{7}{4}* \pi$. [/mm] Das hast Du benutzt.
Ein weiteres Argument von w ist [mm] $-\bruch{1}{4}* \pi$. [/mm] Das hat Dein Prof. benutzt.
[mm] $-\bruch{1}{4}* \pi+2 \pi [/mm] = [mm] \bruch{7}{4}* \pi$
[/mm]
FRED
> Für einen kleinen Kick
> wäre ich echt dankbar!
>
> Viele liebe Grüße
>
> Malte
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Malte89 |
achja! stimmt ja! vielen Dank Fred!!!! sehr nette Hilfe
|
|
|
|
