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| Aufgabe | | Bestimmen Sie Betrag und Argument von ( [mm] \bruch{1 + i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}^{201} [/mm] |
Hallo!
Mit der Aufgabe an sich habe ich keine Probleme.
Nur folgendes:
Um das Argument auszurechnen brauche ich ja den arctan. Also:
arctan(- [mm] \wurzel{3} [/mm] ).
Bei dem Taschenrechner, den ich benutze, kann man aussuchen, ob man das über 360° ausrechnen möchte oder über 2 [mm] \pi [/mm] .
Das irritiert mich. Was mach ich denn nun? Und warum?
Kann mir da jemand helfen? Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Do 25.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie Betrag und Argument von ( [mm]\bruch{1 i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}^{201}[/mm]
>
> Hallo!
> Mit der Aufgabe an sich habe ich keine Probleme.
> Nur folgendes:
> Um das Argument auszurechnen brauche ich ja den arctan.
> Also:
> arctan(- [mm]\wurzel{3}[/mm] ).
> Bei dem Taschenrechner, den ich benutze, kann man
> aussuchen, ob man das über 360° ausrechnen möchte oder
> über 2 [mm]\pi[/mm]
> Das irritiert mich. Was mach ich denn nun?
Du musst im Bogenmaß rechnen, wenn die die trigonometrischen Betrachtungen im Normalen Koordinatensysten bzw Zahlensystem machst. Mit dem Gradmaß kannst du die Winkel in der "allgemeinverständlichen Notation" angeben, mehr aber auch nicht.
> Und warum?
> Kann mir da jemand helfen? Das wäre toll!
> Grüßle, Lily
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Do 25.04.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
aha! Danke! 
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> Bestimmen Sie Betrag und Argument von ( [mm]\bruch{1 + i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}^{201}[/mm]
Da fehlt wohl noch die Endklammer. Also richtig:
$\ [mm] \left(\bruch{1 + i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}\right)^{201}$
[/mm]
Stimmt es so ?
> Hallo!
> Mit der Aufgabe an sich habe ich keine Probleme.
> Nur folgendes:
> Um das Argument auszurechnen brauche ich ja den arctan.
> Also:
> arctan(- [mm]\wurzel{3}[/mm] ).
> Bei dem Taschenrechner, den ich benutze, kann man
> aussuchen, ob man das über 360° ausrechnen möchte oder
> über 2 [mm]\pi[/mm] .
> Das irritiert mich. Was mach ich denn nun? Und warum?
> Kann mir da jemand helfen? Das wäre toll!
> Grüßle, Lily
Hallo Lily,
dies ist eigentlich gar nicht eine Rechnung für den
Taschenrechner, sondern eine Kopfrechnung !
Ich vermute mal, dass dieses Beispiel aus der
Zeit stammt, als noch nicht einmal das Wort
"Taschenrechner" im Duden stand !
Falls man mit den wichtigsten Funktionswerten der
trigonometrischen Funktion ein bisschen vertraut
ist, kann man leicht sehen, dass im Zähler des
Bruches die komplexe Zahl mit dem Betrag 2 und
dem Winkel 60° (oder [mm] \pi/3) [/mm] steht und im Nenner
deren konjugiert komplexe Zahl mit demselben
Betrag 2 und dem Winkel -60° (oder [mm] -\pi/3).
[/mm]
Der Quotient in der Klammer hat demzufolge den
Betrag [mm] \frac{2}{2}=1 [/mm] und das Argument 60°-(-60°)=120°
oder im Bogenmaß [mm] \frac{2*\pi}{3} [/mm] .
Potenziert man nun mit dem Exponenten 201, so
bleibt der Betrag 1 erhalten (weil $\ [mm] 1^{201}\ [/mm] =\ 1$),
und als Argument erhält man [mm] 201*\frac{2*\pi}{3} [/mm] (modulo [mm] 2\pi) [/mm] .
Nun kann man noch sehen, dass 201 durch 3
teilbar ist (Quersumme !); also bleibt am Ende
ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] stehen, und
modulo [mm] 2\pi [/mm] reduziert einfach der Winkel 0 .
Es folgt, dass das Ergebnis der Rechnung einfach
gleich $\ 1*(cos(0)+i*sin(0))$ ist, also 1 .
LG , Al-Chw.
NB: Der arcustangens-Wert, der hier eine Rolle
spielte, wäre übrigens [mm] arctan(\sqrt{3}/2) [/mm] = 60° gewesen ...
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> > Bestimmen Sie Betrag und Argument von ( [mm]\bruch{1 + i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}^{201}[/mm]
>
> Da fehlt wohl noch die Endklammer. Also richtig:
>
> [mm]\ \left(\bruch{1 + i \wurzel{3} }{1- i \wurzel{3}}\right)^{201}[/mm]
>
> Stimmt es so ?
hups, ja stimmt!
>
>
> > Hallo!
> > Mit der Aufgabe an sich habe ich keine Probleme.
> > Nur folgendes:
> > Um das Argument auszurechnen brauche ich ja den arctan.
> > Also:
> > arctan(- [mm]\wurzel{3}[/mm] ).
> > Bei dem Taschenrechner, den ich benutze, kann man
> > aussuchen, ob man das über 360° ausrechnen möchte oder
> > über 2 [mm]\pi[/mm] .
> > Das irritiert mich. Was mach ich denn nun? Und warum?
> > Kann mir da jemand helfen? Das wäre toll!
> > Grüßle, Lily
>
>
> Hallo Lily,
>
> dies ist eigentlich gar nicht eine Rechnung für den
> Taschenrechner, sondern eine Kopfrechnung !
>
> Ich vermute mal, dass dieses Beispiel aus der
> Zeit stammt, als noch nicht einmal das Wort
> "Taschenrechner" im Duden stand !
ja, sobald ich tangens und seine kollegen sehe schrecke ich vor der kopfrechnung zurück...
>
> Falls man mit den wichtigsten Funktionswerten der
> trigonometrischen Funktion ein bisschen vertraut
> ist, kann man leicht sehen, dass im Zähler des
> Bruches die komplexe Zahl mit dem Betrag 2 und
> dem Winkel 60° (oder [mm]\pi/3)[/mm] steht und im Nenner
> deren konjugiert komplexe Zahl mit demselben
> Betrag 2 und dem Winkel -60° (oder [mm]-\pi/3).[/mm]
ok, das mit dem betrag 2 sehe ich, aber der winkel...
da nehme ich arctan von [mm] \wurzel{3} [/mm] bzw. von - [mm] \wurzel{3} [/mm] oder? wie kommst du dann auf 60°, müssten das nicht 30° sein?
>
> Der Quotient in der Klammer hat demzufolge den
> Betrag [mm]\frac{2}{2}=1[/mm] und das Argument 60°-(-60°)=120°
> oder im Bogenmaß [mm]\frac{2*\pi}{3}[/mm] .
das kenn ich nicht, dass man das so zusammenrechenen kann.
warum dividierst du beim Betrag und subtrahierst beim Argument?
>
> Potenziert man nun mit dem Exponenten 201, so
> bleibt der Betrag 1 erhalten (weil [mm]\ 1^{201}\ =\ 1[/mm]),
> und
> als Argument erhält man [mm]201*\frac{2*\pi}{3}[/mm] (modulo [mm]2\pi)[/mm]
> .
> Nun kann man noch sehen, dass 201 durch 3
> teilbar ist (Quersumme !);
ja, das kenn ich sogar 
> also bleibt am Ende
> ein ganzzahliges Vielfaches von [mm]2\pi[/mm] stehen, und
> modulo [mm]2\pi[/mm] reduziert einfach der Winkel 0 .
> Es folgt, dass das Ergebnis der Rechnung einfach
> gleich [mm]\ 1*(cos(0)+i*sin(0))[/mm] ist, also 1 .
>
> LG , Al-Chw.
>
> NB: Der arcustangens-Wert, der hier eine Rolle
> spielte, wäre übrigens [mm]arctan(\sqrt{3}/2)[/mm] = 60°
> gewesen ...
wieso? macht man nicht [mm] \bruch{Imz}{Rez} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{ \wurzel{3}}{2}}{\bruch{-1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] ?
>
>
>
Danke und tut mir leid, dass ich da nicht durchblicke! mich verwirrt dieses rumgerechne mit arctan total! :-/
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> > Hallo Lily,
> >
> > dies ist eigentlich gar nicht eine Rechnung für den
> > Taschenrechner, sondern eine Kopfrechnung !
> >
> > Ich vermute mal, dass dieses Beispiel aus der
> > Zeit stammt, als noch nicht einmal das Wort
> > "Taschenrechner" im Duden stand !
> ja, sobald ich tangens und seine kollegen sehe schrecke
> ich vor der kopfrechnung zurück...
das ist ein Fehler !
es lohnt sich wirklich, die paar einfachen und wichtigen
Sinus- Cosinus- und Tangenswerte zu kennen, in welchen
z.B. die Wurzeln [mm] \sqrt{2} [/mm] oder [mm] \sqrt{3} [/mm] auftauchen !
(http://www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Wichtige-trigonometrische-Werte)
> ok, das mit dem betrag 2 sehe ich, aber der winkel...
> da nehme ich arctan von [mm]\wurzel{3}[/mm] bzw. von - [mm]\wurzel{3}[/mm]
> oder?
Ja.
> > Der Quotient in der Klammer hat demzufolge den
> > Betrag [mm]\frac{2}{2}=1[/mm] und das Argument
> 60°-(-60°)=120°
> > oder im Bogenmaß [mm]\frac{2*\pi}{3}[/mm] .
> das kenn ich nicht, dass man das so zusammenrechnen kann.
> warum dividierst du beim Betrag und subtrahierst beim
> Argument?
So dividiert man komplexe Zahlen in Polarform !
Schau z.B. da:
http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex.php
(Multiplikation und Division in der Polarform)
> > Potenziert man nun mit dem Exponenten 201, so
> > bleibt der Betrag 1 erhalten (weil [mm]\ 1^{201}\ =\ 1[/mm]),
>
> > und
> > als Argument erhält man [mm]201*\frac{2*\pi}{3}[/mm] (modulo [mm]2\pi)[/mm]
> > .
> > Nun kann man noch sehen, dass 201 durch 3
> > teilbar ist (Quersumme !);
> ja, das kenn ich sogar
>
> > also bleibt am Ende
> > ein ganzzahliges Vielfaches von [mm]2\pi[/mm] stehen, und
> > modulo [mm]2\pi[/mm] reduziert einfach der Winkel 0 .
> > Es folgt, dass das Ergebnis der Rechnung einfach
> > gleich [mm]\ 1*(cos(0)+i*sin(0))[/mm] ist, also 1 .
> >
> > LG , Al-Chw.
> >
> > NB: Der arcustangens-Wert, der hier eine Rolle
> > spielte, wäre übrigens [mm]arctan(\sqrt{3}/2)[/mm] = 60° ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(sorry, da habe ich mich verschrieben; Verwechslung mit arcsin ! )
> > gewesen ...
>
> wieso? macht man nicht [mm]\bruch{Imz}{Rez}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{ \wurzel{3}}{2}}{\bruch{-1}{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{3}[/mm] ?
Oh je, da hab ich mich ja noch selbst verschrieben.
Natürlich hätte es heißen sollen:
[mm]arctan(\sqrt{3})[/mm] = 60°
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 25.04.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!! Du hast mir echt weitergeholfen!
Und ja, jetzt merke ich, dass es manchmal doch ganz nützlich ist, ein paar Sachen im Kopf zu machen !!
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