arctan < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:48 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
hab eine kleine Frage, kann man sagen, dass
[mm] \lim_{a \rightarrow -\infty} \frac{1}{n} [/mm] arctan(n a) [mm] \rightarrow \frac{1}{n} (-\frac{\pi}{2}) [/mm] geht? (n ist irgendeine positive konstante)
oder wie muss ich das n verarbeiten?
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
Hallo Riley!
> hab eine kleine Frage, kann man sagen, dass
> [mm]\lim_{a \rightarrow -\infty} \frac{1}{n}[/mm] arctan(n a)
> [mm]\rightarrow \frac{1}{n} (-\frac{\pi}{2})[/mm] geht? (n ist
> irgendeine positive konstante)
> oder wie muss ich das n verarbeiten?
Du kannst das [mm]\frac{1}{n}[/mm] vor den Limes ziehen, da es sich ja nur um eine Konstante handelt. Der Grenzwert ist schon okay so.
LG
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Karsten,
besten Dank für die schnelle Antwort! Dann muss mein Fehler doch wo anders liegen - ich glaube ich poste doch mal das ganze:
[mm] (\lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] (P(X [mm] \leq ny))^n
[/mm]
= ( [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] ( [mm] \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{ny} \frac{1}{1+(ny)^2} dy))^n [/mm] =( [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} [/mm] arctan(ny) [mm] -\frac{1}{\pi} \frac{1}{n}(- \frac{\pi}{2})))^n [/mm]
= ( [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} [/mm] arctan(ny) + [mm] \frac{1}{2n}))^n [/mm]
wobei X Cauchyverteilt ist.
Hab ich da etwas falsch umgeformt oder kann man das so machen?
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Walty |
> Hi Karsten,
> besten Dank für die schnelle Antwort! Dann muss mein
> Fehler doch wo anders liegen - ich glaube ich poste doch
> mal das ganze:
>
> [mm](\lim_{n \rightarrow \infty}[/mm] (P(X [mm]\leq ny))^n[/mm]
>
> = ( [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}[/mm] ( [mm]\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{ny} \frac{1}{1+(ny)^2} dy))^n[/mm]
> =( [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n}[/mm]
> arctan(ny) [mm]-\frac{1}{\pi} \frac{1}{n}(- \frac{\pi}{2})))^n[/mm]
> = ( [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n}[/mm]
> arctan(ny) + [mm]\frac{1}{2n}))^n[/mm]
>
> wobei X Cauchyverteilt ist.
> Hab ich da etwas falsch umgeformt oder kann man das so
> machen?
>
> Viele Grüße,
> Riley
Mal davon ausgehend, dass das Integral stimmt (bin mir mit den Integrationsgrenzen jetzt nicht so sicher)
meine ich Du Du hast mit [mm](\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \arctan{ny} + \frac{1}{2n}))^n[/mm]
einen recht einfach aufzudröselnden Term
[mm](\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \arctan{(ny)} + \frac{1}{2n}))^n[/mm] =
[mm](\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \arctan{(ny)}) + \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})))^n[/mm]
[mm]\lim_{n \rightarrow \infty}{\arctan{(ny)}} \to \pm \frac{\pi}{2} \text{(je nach y<0 oder y>0)}[/mm]
[mm]y=0 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\arctan{(ny)}}=0[/mm]
also
y>0:
...[mm]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \frac{\pi}{2}) + \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})=\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})+\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})=2*\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})=0...[/mm]
y<0:
...[mm]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \frac{-\pi}{2}) + \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n}) = \lim_{n \rightarrow \infty} (-\frac{1}{2n}) + \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})=0[/mm]
y=0:
...[mm]\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} *0 ) + \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n}) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{2n})=0[/mm]
Gruß Walty
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Walty,
vielen Dank für deine Hilfe und Erklärungen!
Die Integralgrenzen müssten stimmen. Aber ich bin mir nicht sicher ob es besser [mm] \int_{-\infty}^{ny}~\frac{1}{1+x^2}~dx [/mm] heißen müsste? dann würde man ja das 1/n nicht bekommen.
Angeblich soll halt für y>0 irgendetwas mit e^(...) rauskommen, aber ich komm da nicht drauf...??
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Walty |
np
> ...Aber ich bin mir
> nicht sicher ob es besser
> [mm]\int_{-\infty}^{ny}~\frac{1}{1+x^2}~dx[/mm] heißen müsste?
Wie ist denn der Weg von der Aufgabenstellung (P(X<ny)) zum Integral?
Vll. postest Du mal die ganze Aufgabenstellung.... 
Gruß Walty
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:18 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Riley |
ok, mach ich, hatte gehofft es wäre nur ein Integralfehler.
Es sei [mm] (X_n: [/mm] n [mm] \in \mathb{N}) [/mm] eine Folge unabhängiger und zum Parameter 1 Cauchyverteilter ZVen, d.h. [mm] X_i [/mm] hat die Dichte [mm] f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}.
[/mm]
Beh: Die Folge [mm] Y_n:= \frac{1}{n} max\{X_1,...,X_n\}, [/mm] n [mm] \in [/mm] N konvergiert schwach. (Grenzverteilung bestimmen).
Hatte das ganze dann so angefangen:
[mm] \lim_{n\rightarrow \infty} F_{Y_n}(y) [/mm] = [mm] \lim P(Y_n \leq [/mm] y)
= [mm] \lim (P(X_1 \leq [/mm] y [mm] \cdot n))^n [/mm]
... genau und dann das Problem mim Integrieren... ??? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 25.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
