arcsin(x),partiell integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | [mm] \integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] |
(arcsinx)' = [mm] \frac{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] \integral{\frac{\phi(x) * x}{\phi'(x)} dx} [/mm] brachte mich nicht weiter
Partielle Integration.
Ich muss eine Stammfunktion kennen.
[mm] \integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
substituiere [mm] t=1-x^2
[/mm]
dt=-2x dx
= -1/2 [mm] \integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt} [/mm] = -1/2 [mm] \integral [/mm] { [mm] t^{1/2} [/mm] dt} = -1/2 [mm] *\frac{ 2t^{3/2}}{3}=-\frac{\wurzel{t^3}}{3} [/mm] = [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]
Partielle Integration:
[mm] \integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] =
[mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm] * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
= [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm] * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^2}}{3} dx}
[/mm]
= [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm] * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{1-x^2}{3} dx}
[/mm]
[mm] =-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm] * arcsin(x) +1/3 - [mm] \frac{x^3}{9}
[/mm]
Ich wäre sehr froh, wenn mir das wer korrigiert! War meine zweite partielle Integration, also gnädig sein ;)
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Hallo Lu-,
> [mm]\integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
> (arcsinx)'
> = [mm]\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> [mm]\integral{\frac{\phi(x) * x}{\phi'(x)} dx}[/mm] brachte mich
> nicht weiter
>
>
> Partielle Integration.
> Ich muss eine Stammfunktion kennen.
> [mm]\integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
> substituiere
> [mm]t=1-x^2[/mm]
> dt=-2x dx
>
> = -1/2 [mm]\integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt}[/mm] = -1/2 [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]t^{1/2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt} = -1/2 [mm]*\frac{ 2t^{3/2}}{3}=-\frac{\wurzel{t^3}}{3}[/mm]
Hier hast Du ein Vorzeichen vergessen:
[mm]-1/2 \integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt} = -1/2 \integral{ t^{\blue{-}1/2} dt}[/mm]
> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]
>
> Partielle Integration:
> [mm]\integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm] =
> [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm] * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
Es ist
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} \ dx} \not= -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]
> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm] * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^2}}{3} dx}[/mm]
>
> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm] * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{1-x^2}{3} dx}[/mm]
>
> [mm]=-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm] * arcsin(x) +1/3 -
> [mm]\frac{x^3}{9}[/mm]
>
>
> Ich wäre sehr froh, wenn mir das wer korrigiert! War meine
> zweite partielle Integration, also gnädig sein ;)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
danke **
[mm] \integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}=
[/mm]
...
-1/2 * [mm] \integral{t^{-\frac{1}{2}} dt} [/mm] = -1/2 * [mm] \frac{2t^{\frac{1}{2}}}{1} [/mm] = [mm] -t^{\frac{1}{2}} [/mm] = - [mm] \wurzel{1-x^2}
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] \integral{arcsinx \cdot{} \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] =
- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x) - [mm] \integral {-\wurzel{1-x^2}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]
=- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x) - [mm] \integral{ -1 dx} [/mm]
=- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x)+x
Passt es so?
Als Zweitaufgabe:
[mm] \integral{(arcsinx)^2dx}
[/mm]
Das soll mit dem vorigen Bsp gelöst werden
Partielle Inegration mit einem Einser
= x* arcsin(x) - [mm] \integral{\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
Wie kann ich nun das Bsp nutzen um das Integral auszurechnen? Weil um den arcsin(x) unterscheidet es sich ja
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Hallo Lu-,
> danke **
>
> [mm]\integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}=[/mm]
> ...
> -1/2 * [mm]\integral{t^{-\frac{1}{2}} dt}[/mm] = -1/2 *
> [mm]\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{1}[/mm] = [mm]-t^{\frac{1}{2}}[/mm] = -
> [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> Partielle Integration:
> [mm]\integral{arcsinx \cdot{} \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm] =
> - [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x) - [mm]\integral {-\wurzel{1-x^2}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
> =- [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x) - [mm]\integral{ -1 dx}[/mm]
> =- [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x)+x
> Passt es so?
>
Ja, das passt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Als Zweitaufgabe:
> [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}[/mm]
> Das soll mit dem vorigen Bsp gelöst werden
> Partielle Inegration mit einem Einser
> = x* arcsin(x) - [mm]\integral{\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
Bedenke daß hier steht:
[mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x*\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} - \integral{x*\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx}[/mm]
Das rechtsstehende Integral sollte Dir bekannt vorkommen.
> Wie kann ich nun das Bsp nutzen um das Integral
> auszurechnen? Weil um den arcsin(x) unterscheidet es sich
> ja
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke schonmal
> $ [mm] \integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} [/mm] - [mm] \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx} [/mm] $
[mm] ((arcsin(x))^2)' [/mm] = 2 arcsin(x)
= x * [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] - [mm] \integral{x*2arcsin(x) dx}
[/mm]
=x * (arcsin [mm] (x))^2 [/mm] - [mm] 2\integral{x*arcsin(x) dx}
[/mm]
Inwiefern sollte mir das jetzt bekannt vorkommen? Ich glaub ich steh am schlauch^^
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Hallo Lu-,
> Danke schonmal
>
>
> > [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} - \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx}[/mm]
>
> [mm]((arcsin(x))^2)'[/mm] = 2 arcsin(x)
>
> = x * [mm](arcsin(x))^2[/mm] - [mm]\integral{x*2arcsin(x) dx}[/mm]
> =x *
> (arcsin [mm](x))^2[/mm] - [mm]2\integral{x*arcsin(x) dx}[/mm]
>
> Inwiefern sollte mir das jetzt bekannt vorkommen? Ich glaub
> ich steh am schlauch^^
>
Die Ableitung von [mm](arcsin (x))^2[/mm] ist nicht richtig gebildet worden.
Für die Ableitung benutze die Kettenregel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich hab die innere ABleitung vergessen
[mm] ((arcsin(x))^2)' [/mm] = 2* arcsin(x) * [mm] \frac{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] \integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} [/mm] - [mm] \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}\ \right)' dx} [/mm]
= x * [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] $ - $ [mm] \integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
= x* [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] - (- $ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x)+x )
=x* [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] + $ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x)-x
=$ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x) + [mm] x*((arcsin(x))^2 [/mm] -1)
Kan ich da noch was machen?
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Hallo Lu-,
> Ich hab die innere ABleitung vergessen
>
> [mm]((arcsin(x))^2)'[/mm] = 2* arcsin(x) * [mm]\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
> [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}[/mm]
> - [mm]\integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}\ \right)' dx}[/mm]
>
> = x * [mm](arcsin(x))^2[/mm] [mm]-[/mm] [mm]\integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
Hier hast Du den Faktor 2 vergessen:
[mm]x * (arcsin(x))^2 - \red{2}\integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
> = x* [mm](arcsin(x))^2[/mm] - (- [mm]\wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x)+x
> )
> =x* [mm](arcsin(x))^2[/mm] + [mm]\wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x)-x
> =[mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x) + [mm]x*((arcsin(x))^2[/mm] -1)
>
> Kan ich da noch was machen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Tut mir leid, Ich bin heute nicht ganz da mit meinen Gedanken.
= x* [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] + 2* [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] * arcsin(x) -2x
Geht das noch zu vereinfachen?
Ich glaub das passt .
LG
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Hallo Lu-,
> Tut mir leid, Ich bin heute nicht ganz da mit meinen
> Gedanken.
>
> = x* [mm](arcsin(x))^2[/mm] + 2* [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] * arcsin(x) -2x
>
> Geht das noch zu vereinfachen?
Lass das so stehen.
> Ich glaub das passt .
>
Ja, das passt.
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 So 25.03.2012 | | Autor: | Lu- |
danke <3
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