approx. Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebes Forum!
Ich muß folgende Frage beantworten:
Welche approximative Verteilung besitzt folgende Zufallsvariable?
Willi verbringt seine Abende eist vor einem Spielautomaten, bei dem ein Spiel 50 Cent kostet. Die Zufallsvariable X=Gewinn (in Euro) hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X=-0.5)=0.6
P(X=0)=0.2
P(X=1)=0.2
Sei Y der Gewinn nach 100 Spielen. |
So, man soll also schauen, welche approximative Verteilung die Zufallsvariable Y hat. Gut.
Erstmal:
[mm]Y=X_1+...+X_{100}[/mm], wobei [mm]X_i, i=1,...,100[/mm] den Gewinn beim i-ten Spiel bezeichnet.
Meine Idee ist: Zentraler Grenzwertsatz.
1.) Die [mm]X_i[/mm] sind identisch verteilt und unabhängig.
2.) Erwartungswert (-0.1) und Varianz (0.34) ex. und sind endlich.
Demnach sagt doch der Zentrale Grenzwertsatz, daß für Y gilt, daß (wenn man standardisiert) die Verteilungsfunktion der standardisierten ZV punktweise gegen die Standardnormalverteilung geht.
MEINE Antwort lautet also: Y hat als approxiative Verteilung die Standardnormalverteilung.
Stimmt das?
Danke für jede Hilfe!!
mikexx
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> Hallo, liebes Forum!
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> Ich muß folgende Frage beantworten:
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> Welche approximative Verteilung besitzt folgende
> Zufallsvariable?
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> Willi verbringt seine Abende eist vor einem Spielautomaten,
> bei dem ein Spiel 50 Cent kostet. Die Zufallsvariable
> X=Gewinn (in Euro) hat folgende
> Wahrscheinlichkeitsfunktion:
>
> P(X=-0.5)=0.6
>
> P(X=0)=0.2
>
> P(X=1)=0.2
>
> Sei Y der Gewinn nach 100 Spielen.
> So, man soll also schauen, welche approximative Verteilung
> die Zufallsvariable Y hat. Gut.
>
> Erstmal:
>
> [mm]Y=X_1+...+X_{100}[/mm], wobei [mm]X_i, i=1,...,100[/mm] den Gewinn beim
> i-ten Spiel bezeichnet.
>
> Meine Idee ist: Zentraler Grenzwertsatz.
scheint mir der einzig sinnvolle Ansatz für die Aufgabe
>
> 1.) Die [mm]X_i[/mm] sind identisch verteilt und unabhängig.
muss man annehmen, wobei Unabhängigkeit hier nicht selbstverständlich erfüllt ist
>
> 2.) Erwartungswert (-0.1) und Varianz (0.34) ex. und sind
> endlich.
>
> Demnach sagt doch der Zentrale Grenzwertsatz, daß für Y
> gilt, daß (wenn man standardisiert) die
> Verteilungsfunktion der standardisierten ZV punktweise
> gegen die Standardnormalverteilung geht.
>
> MEINE Antwort lautet also: Y hat als approxiative
> Verteilung die Standardnormalverteilung.
>
>
Normalverteilung ja, aber für Y sind Erwartungswert und Varianz nicht 0 und 1, daher ist das keine Standardnormalverteilung.
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> Stimmt das?
>
> Danke für jede Hilfe!!
>
> mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Da muß ich doch nochmal nachhaken.
1.) Wieso ist es nicht selbstverständlich, daß die ZV [mm]X_i, i=1,...,100[/mm] unabhängig sind?
Was ich bei einem Spiel gewinne, ist doch unabhängig von dem Gewinn eines anderen Spiels.
2.) Hier steht aber, daß man es immer auf die Standardnormalverteilung zurückführen kann, oder?
http://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz
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> Da muß ich doch nochmal nachhaken.
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> 1.) Wieso ist es nicht selbstverständlich, daß die ZV
> [mm]X_i, i=1,...,100[/mm] unabhängig sind?
>
> Was ich bei einem Spiel gewinne, ist doch unabhängig von
> dem Gewinn eines anderen Spiels.
>
das hängt von der Programmierung des Spielautomaten ab, braucht dich aber nicht zu kümmern.
Für die Aufgabe nimmst du einfach Unabhängigkeit an.
>
> 2.) Hier steht aber, daß man es immer auf die
> Standardnormalverteilung zurückführen kann, oder?
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz
Das schon, wenn du alle Zufallsvariablen entsprechend skalierst.
Gefragt ist aber nach der Verteilung von Y und nicht nach der standardisierten Form.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Das macht Sinn.
Also ich habe mittlerweile herausgefunden, daß da dann allgemein gilt:
[mm]X_1+...+X_n\sim \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)[/mm]
Also hier wohl:
[mm]X_1+...+X_n\sim \mathcal{N}(-10, 34)[/mm].
Doch wie erklärt sich das: Warum ist das so?
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> Das macht Sinn.
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> Also ich habe mittlerweile herausgefunden, daß da dann
> allgemein gilt:
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> [mm]X_1+...+X_n\sim \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)[/mm]
>
> Also hier wohl:
>
> [mm]X_1+...+X_n\sim \mathcal{N}(-10, 34)[/mm].
>
> Doch wie erklärt sich das: Warum ist das so?
Kann zum einen dadurch erklärt werden, dass der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Bei unabhängigen Zufallsvariablen gilt das auch für die Varianz.
Zum anderen sagt der zentrale Grenzwertsatz, dass [mm] \frac{(X_1+...+X_n)-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} [/mm] gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Durch Multipliktion mit [mm] \sqrt{n\sigma^2} [/mm] und anschließender Addition von [mm] n\mu [/mm] erhältst du daraus eine [mm] \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)-Verteilung.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Wie meinst Du das letzte?
Wo kann man das multiplizieren oder addieren?
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> Wie meinst Du das letzte?
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> Wo kann man das multiplizieren oder addieren?
>
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Wenn [mm] \hat{Y} [/mm] standardnormalverteilt ist, ist [mm] \sigma*\hat{Y}+\mu [/mm]
[mm] N(\mu,\sigma^2)-verteilt.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Ah, Du meinst:
Die standardisierte Summe konvergiert punktweise gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Wenn man also so umstellt, daß man da nur noch die ursprüngliche Summe stehen hat, so lautet die Approximation für deren Verteilung dann so, wie oben genannt. Man kann einfach so rechnen, wie Du im letzten Beitrag geschrieben hast.
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[mm] \frac{Y-n\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} [/mm] näherungsweise N(0,1)-verteilt ist gleichbedeutend damit, dass Y näherungsweise
[mm] N(n\mu,n\sigma^2)-verteilt [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Di 08.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Besten Dank!!
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