anzahl teilmengen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 02.11.2007 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | beweisen sie mit hilfe vollst. induktion
eine menge mit n elementen hat 2 hoch n teilmengen |
a)hat eine menge mit einem element zwei teilmengen(die menge selbst und das element)?
b)gelten die mengen {1,2} und {2,1} als zwei mengen(vermutlich ja,
wurde auch in der vorlesung erwähnt glaube ich,bin mir aber nicht sicher)
c)müsste eine menge mit zwei elementen(wenns a) richtig) nicht 5 teilmengen haben die menge selbst und {1},{2},{1,2},{2,1}?
gruß lenz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lenz!
> beweisen sie mit hilfe vollst. induktion
> eine menge mit n elementen hat 2 hoch n teilmengen
> a)hat eine menge mit einem element zwei teilmengen(die
> menge selbst und das element)?
Mmh, ein Element alleine kann nie eine Teilmenge sein, weil es keine Menge ist. Eine Teilmenge wäre höchstens eine einelementige Menge, die genau dieses eine Element enthält - in deinem Fall ist das dann aber genau die Menge. Konkretes Beispiel:
[mm] M=\{1\}
[/mm]
[mm] \mathcal{P}(M)=\{\{\},\underbrace{\{1\}}_{=M}\}
[/mm]
Aber zwei Teilmengen sind es damit trotzdem. 
> b)gelten die mengen {1,2} und {2,1} als zwei
> mengen(vermutlich ja,
Nein, das ist ein und dieselbe Menge! Bei einer Menge ist die Reihenfolge unwichtig - egal, wie die Elemente da drin stehen, wenn es die gleichen Elemente sind, ist es die gleiche Menge. Auch doppelte Elemente zählen nur einmal, deswegen wäre z. B. [mm] \{1,2,3\}=\{1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3\}.
[/mm]
> c)müsste eine menge mit zwei elementen(wenns a) richtig)
> nicht 5 teilmengen haben die menge selbst und
> {1},{2},{1,2},{2,1}?
Anscheinend besteht deine Menge aus den Elementen 1 und 2, sieht also so aus: [mm] A=\{1,2\}. [/mm] Dann ist doch aber [mm] \{1,2\} [/mm] genau "die Menge selbst" und du hättest sie hier zweimal drin. Außerdem ist, wie gesagt, b) falsch, demnach hast du da nur drei Elemente stehen, und das vierte ist die leere Menge, die - genauso wie die Menge selbst - Teilmenge jeder Menge ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Fr 02.11.2007 | | Autor: | lenz |
wie habe ich dann die aufgabe zu verstehen(falsch ist sie vermutlich nicht
da sie auch im königsberger steht)?
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Hallo lenz!
> wie habe ich dann die aufgabe zu verstehen(falsch ist sie
> vermutlich nicht
> da sie auch im königsberger steht)?
Die Frage verstehe ich nicht! Bei einer zweielementigen Menge ist doch [mm] 2^n=2^2=4 [/mm] genau die Anzahl an Teilmengen, wie ich dir vorgerechnet habe!!! ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
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desweiteren kannst du die anzahl der Teilmengen recht leicht mit dem Binominialkoeffizienten bestimmen.
nehmen wir an du hast eine n-elementige Menge X und möchtest die anzahl der k-elementigen Teilmengen wissen.
Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von X ist
(n über k)
also n!/k!*(n-k)!
du willst nun also die Anzahl aller Teilmengen bestimmen... das heißt alle Binominialkoeffizienten zusammen zählen. Mit Induktion und einem gewissen Lehrsatz wirst du das bestimmt schaffen ;) !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Fr 02.11.2007 | | Autor: | lenz |
alles klar
sorry hab´s verpennt
hab dank
lg lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Framl |
Vielleicht ist das nicht mathematisch absolut sauber, aber man könnte es auch so lösen:
I.A. $n=1$ Sei [mm] $A=\{a\}\Rightarrow \emptyset\subset A,\:\{a\}\subset A\Rightarrow$ [/mm] Es gibt $ [mm] 2^1=2$ [/mm] Teilmengen.
I.S. [mm] $n\to [/mm] n+1$ Sei [mm] $A_{n+1}=\{a_1,...,a_n,a_{n+1}\}=\{a_1,...,a_n\}\cup \{a_{n+1}\}$.
[/mm]
Nach IV hat [mm] $\{a_1,...,a_n\}$ [/mm] genau [mm] $2^n$ [/mm] Teilmenge. Zu jeder dieser Teilmengen kann man das Element [mm] $a_{n+1}$ [/mm] zuzählen, d.h. die Anzahl der Teilmengen verdoppelt sich auf [mm] $2\cdot 2^n=2^{n+1}$ [/mm] Teilmengen von [mm] $A_{n+1}$. [/mm] Was ja die Behauptung ist...
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