(anti-)symmetrische Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 05.01.2005 | | Autor: | maria |
Hallo. Ich habe folgende Aufgabe:
Zeigen Sie:
Für jede Matrix [mm] A\in R^{n\times n} [/mm] ist [mm] B=\bruch{1}{2}(A+A^{T}) [/mm] eine symmetrische und [mm] C=\bruch{1}{2}(A-A^{T}) [/mm] eine schiefsymmetrische Matrix. (Das sollen wir zeigen, was ich bereits gemacht habe). Demnach ist [mm] A=\bruch{1}{2}(A+A^{T})+\bruch{1}{2}(A-A^{T}) [/mm] die Darstellung von A als eine Summe aus einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix. Ist diese Darstellung eindeutig?
Ich habe die Lösung schon in einem Buch gefunden und bin sogar zu blöd, dass nachzuvollziehen wie so oft. Also hier die Lösung:
Angenommen es gilt [mm] A=B_{1}+C_{1}=B_{2}+C_{2}, [/mm] wobei [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] symmetr. und [mm] C_{1} [/mm] sowie [mm] C_{2} [/mm] schiefsymm. sind. Ferner sei [mm] B_{1}\not=B_{2} [/mm] oder [mm] C_{1}\not=C_{2}. [/mm] Aus der Annahme folgt durch Subtraktion (*) [mm] 0=(B_{1}-B_{2})+(C_{1}-C_{2}). [/mm] Dabei ist [mm] (B_{1}-B_{2}) [/mm] wieder eine symmetr. Matrix und [mm] (C_{1}-C_{2}) [/mm] eine schiefsymmetr, Matrix. Bis hierhin ist mir alles klar.
In [mm] D=(d_{ij}):=B_{1}-B_{2} [/mm] muss dann [mm] d_{ii}=0 [/mm] (was bedeutet dieses [mm] d_{ii} [/mm] hier plötzlich?) für alle i gelten, da die schiefsymm. Matrix [mm] C_{1}-C_{2} [/mm] Nullen auf der Hauptdiagonale besitzt (??woher weiß ich das??) und sonst als Summe dieser Matrizen nicht die Nullmatrix entstehen könnte. Angenommen es ist ein [mm] d_{ij}\not=0 [/mm] für [mm] i\not=j. [/mm] Wegen [mm] d_{ij}= d_{ji} [/mm] muss dann in [mm] F=(f_{ij}):=C_{1}-C_{2} [/mm] wegen (*) [mm] f_{ij}=-d_{ij} [/mm] und [mm] f_{ji}=-d_{ji} [/mm] gelten. Das ist aber wegen [mm] d_{ij} =d_{ji}\not=0 [/mm] ein Widerspruch zur Schiefsymmetrie von F. Damit muss [mm] B_{1}=B_{2} [/mm] gelten. Die Annahme [mm] C_{1}\not=C_{2} [/mm] führt entsprechend zum Widerspruch. Hmmm...????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo maria
> Für jede Matrix [mm]A\in R^{n\times n}[/mm] ist
> [mm]B=\bruch{1}{2}(A+A^{T})[/mm] eine symmetrische und
> [mm]C=\bruch{1}{2}(A-A^{T})[/mm] eine schiefsymmetrische Matrix.
> (Das sollen wir zeigen, was ich bereits gemacht habe).
> Demnach ist [mm]A=\bruch{1}{2}(A+A^{T})+\bruch{1}{2}(A-A^{T})[/mm]
> die Darstellung von A als eine Summe aus einer
> symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix. Ist diese
> Darstellung eindeutig?
>
> Ich habe die Lösung schon in einem Buch gefunden und bin
> sogar zu blöd, dass nachzuvollziehen wie so oft. Also hier
> die Lösung:
>
> Angenommen es gilt [mm]A=B_{1}+C_{1}=B_{2}+C_{2},[/mm] wobei [mm]B_{1}[/mm]
> und [mm]B_{2}[/mm] symmetr. und [mm]C_{1}[/mm] sowie [mm]C_{2}[/mm] schiefsymm. sind.
> Ferner sei [mm]B_{1}\not=B_{2}[/mm] oder [mm]C_{1}\not=C_{2}.[/mm] Aus der
> Annahme folgt durch Subtraktion (*)
> [mm]0=(B_{1}-B_{2})+(C_{1}-C_{2}).[/mm] Dabei ist [mm](B_{1}-B_{2})[/mm]
> wieder eine symmetr. Matrix und [mm](C_{1}-C_{2})[/mm] eine
> schiefsymmetr, Matrix. Bis hierhin ist mir alles klar.
ok. das ist schonmal gut.
dies jetzt auftauchenden [m] d_{ii} [/m] sind einfach die hauptdiagonaleinträge, denn die matrix $D$ hat ja die gestalt: [m] D = \left( \begin{array}{ccccccc} d_{11} & d_{12} & \hdots & \hdots & \hdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & & & \ & d_{2n}\\
\vdots& & \ddots & & & & \\
\vdots & & & d_{ii} & & & \\
\vdots & & & & \ddots & & \\
d_{n1} & d_{n2} & & & & d_{nn} \end{array} \right) [/m] dabei sind ja genau die einträge mit gleichen indizes, also genau die [m] d_{ii} [/m] auf der hauptdiagonalen (ich schreibe da manchmal auch [m] _{i, i} [/m] dafür - nicht verwirren lassen).
> In [mm]D=(d_{ij}):=B_{1}-B_{2}[/mm] muss dann [mm]d_{ii}=0[/mm] (was
> bedeutet dieses [mm]d_{ii}[/mm] hier plötzlich?) für alle i gelten,
> da die schiefsymm. Matrix [mm]C_{1}-C_{2}[/mm] Nullen auf der
> Hauptdiagonale besitzt (??woher weiß ich das??) und sonst
> als Summe dieser Matrizen nicht die Nullmatrix entstehen
> könnte.
also bei schiefsymmetrischen matrizen [m] A [/m] muss ja gelten [m] A^T = - A [/m] bei der transponierung bleiben aber die hauptdiagonaleinträge gleich (da ja quasi an der hauptdiagonalen gespiegelt wird), also muss für die hauptdiagonaleneinträge [m] a_{ii} [/m] gelten [m] a_{ii} = - a_{ii} [/m] und daraus folgt [m] a_{ii} = 0 [/m]. da die matrixaddition komponentenweise erklärt ist und der teil [m] C_1 - C_2 [/m] bei den hauptdiagonalen nichts beiträgt, da dies matrix schiefsymmetrisch ist stimmen die hauptdiagonalen von [m] B_1 - B_2 [/m] und der nullmatrix auf der anderen seite der gleichung [mm]0=(B_{1}-B_{2})+(C_{1}-C_{2}).[/mm] überein, also muss die hauptdiagonale von [m] B_1 - B_2 [/m] auch null sein!
> Angenommen es ist ein [mm]d_{ij}\not=0[/mm] für [mm]i\not=j.[/mm]
> Wegen [mm]d_{ij}= d_{ji}[/mm] muss dann in [mm]F=(f_{ij}):=C_{1}-C_{2}[/mm]
> wegen (*) [mm]f_{ij}=-d_{ij}[/mm] und [mm]f_{ji}=-d_{ji}[/mm] gelten. Das
> ist aber wegen [mm]d_{ij} =d_{ji}\not=0[/mm] ein Widerspruch zur
> Schiefsymmetrie von F. Damit muss [mm]B_{1}=B_{2}[/mm] gelten. Die
> Annahme [mm]C_{1}\not=C_{2}[/mm] führt entsprechend zum Widerspruch.
> Hmmm...????
wenn du nun ein [m] d_{ij} [/m] hast, das nicht null ist, so muss [m] f_{ij} = -d_{ij} [/m] sein, da diese werte addiert den eintrag an der stelle [m] i, j [/m] der nullmatrix darstellen. wenn du nun aber die einträge an der stelle [m] j, i [/m] anschaust, so ist [m] d_{j, i} = d_{i, j} [/m] (da $D$ symmetrisch ist) und [m] f_{j, i} = - f_{i, j} [/m] (da $F$ schiefsymmetrisch ist) [m] = -(-d_{i, j}) [/m] (siehe oben bei der berechnung an der stelle [m]i, j [/m]) [m] =d_{i,j} [/m]. berechnest du jetzt, was an der stelle [m] j, i [/m] auf der rechten seite der gleichung [mm]0=(B_{1}-B_{2})+(C_{1}-C_{2}).[/mm] steht, so erhälst du [m] d_{j, i} + f_{j, i} = d_{i, j} + d_{i, j} = 2 d_{i, j} \not= 0 [/m] was ja ein widerspruch ist, da auf der linekn seite die nullmatrix steht, also auch auf der rechten seite der gleichung bei den matrizen jeder eintrag null sein muss.
hoffe, dass das so halbwegs verständlich ist (sonst setze doch für$ i$ und $j$ mal konkrete werte z.b. $i=1$, $j=2$ ein und mache dir das ganze an einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-matrix klar). wenn noch fragen da sind stelle diese!
grüße
andreas
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