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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 05.09.2005 | | Autor: | yvge |
Hi, konnte folgende Aufgabe nicht lösen. Vielleicht kann mir ja jemand von Euch weiterhelfen?
Es seien A,B,C,D die Ecken eines nicht ausgearteten Vierecks in der affinen Ebene [mm] IR^2 [/mm] , die durch die Permutation [mm] \tau [/mm] : A→B→C→D→A zyklisch vertauscht werden.
a) Untersuchen Sie, ob [mm] \tau [/mm] stets zu einer affinen Abbildung [mm] \alpha [/mm] von [mm] IR^2 [/mm] in sich fortgesetzt werden kann.
b) Wie steht es mit der Fortsetzbarkeit im Falle folgender Punkte:
A = (1,0) , B = (0,1) , C = (-1,0), D = (0,1).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 05.09.2005 | | Autor: | yvge |
Hi, habe noch eine Frage an Euch, bei der ich nicht weiterkomme:
In dem IR-Vektorraum [mm] IR^5 [/mm] als euklidischer Raum über sich selbst seien die vier Punkte A = (0,0,0,0,0) , B = (1,2,0,-2,-1), C = (0,-2,-1,2,0), D = (-2,-2,1,2,2) gegeben
a)Zeigen Sie, dass sich die Geraden AB und CD in einem Punkt S schneiden und bestimmen Sie den von Ihnen erzeugten affinen Unterraum U.
b) Ermitteln Sie den zu U orthogonalen komplementären Unterraum V durch S.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mo 05.09.2005 | | Autor: | statler |
> Hi, habe noch eine Frage an Euch, bei der ich nicht
> weiterkomme:
>
> In dem IR-Vektorraum [mm]IR^5[/mm] als euklidischer Raum über sich
> selbst seien die vier Punkte A = (0,0,0,0,0) , B =
> (1,2,0,-2,-1), C = (0,-2,-1,2,0), D = (-2,-2,1,2,2)
> gegeben
>
> a)Zeigen Sie, dass sich die Geraden AB und CD in einem
> Punkt S schneiden und bestimmen Sie den von Ihnen erzeugten
> affinen Unterraum U.
Kennst du noch aus der Schule Stützvektor und Richtungsvektor? Geht hier genauso! Dann gemeinsamen Pkt. suchen, gibt Gleichungssystem für die Parameter. Der erzeugte Unterraum ist wahrscheinlich eine Ebene durch den Nullpunkt, warum? Für diese Ebene hat man sofort Stützvektor und Spannvektoren, warum das?
>
> b) Ermitteln Sie den zu U orthogonalen komplementären
> Unterraum V durch S.
Da kann man doch mit dem Skalarprodukt hantieren und irgendeinen orthogonalen Unterraum dann nach S verschieben.
>
> Vielen Dank!
Haben die Hinweise geholfen?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 05.09.2005 | | Autor: | yvge |
Hi, habe eine Frage an Euch:
Für den IR-Vektorraum [mm] IR^4, [/mm] aufgefasst als affiner Raum über sich selbst, sei [mm] \alpha [/mm] : [mm] IR^4 \to IR^4 [/mm] definiert durch [mm] \alpha [/mm] (x) := A [mm] x^t [/mm] f¨¹r alle x [mm] \in IR^4, [/mm] wobei [mm] x^t [/mm] den zu x transponierten Vektor bezeichne und A die Matrix
(1 -1 1 1)
|1 -1 -1 -1|
|1 1 -1 1|
(1 1 1 -1)
sei.
a) Klassifzieren Sie diese Abbildung [mm] \alpha [/mm] des [mm] IR^4 [/mm] in sich.
b) Besitzt [mm] \alpha [/mm] Fixelemente?
Vielen Dank!!!
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Hallo,
da ist irgendwas beim Aufschreiben schiefgegangen:
[mm] Ax^{t} [/mm] macht nur Sinn, wenn x vorher ein Zeilenvektor war (üblicher Weise ist er ein Spaltenvektor), sonst ist die Matritzenmultiplikation nicht definiert.
Wahrscheinlich ist [mm] x^{t}A [/mm] gemeint (wobei das Ergebnis wieder ein Zeilenvektor ist).
Das kannst Du auch schreiben als [mm](x^{t}A)^{t t} = (A^{t}x)^{t}[/mm] und das letzte "transponiert" kannst Du Dir für Deine Untersuchung schenken: Die Abb. [mm] A^{t} [/mm] ist also linear, damit ist ein Fixpunkt der Nullvektor. Weitere Fixpunkte findest Du ggf., indem Du [mm] A^{t} [/mm] auf Eigenvektoren zum Eigenwert 1 untersuchst. Das waren sie dann aber auch schon alle.
Zu Deinen vorigen Fragen:
Bei einem allegemeinen Viereck kann man in puncto Affine Abbildung nichts sagen. Zu dem Quadrat mit Ecken auf (1|0), (0|1), (0|-1) und (-1|0):
Alle Spiegelungen und Drehungen aus der symmetrischen Gruppe [mm] S_{4} [/mm] kommen in Frage. Erzeugende Elemente sind die Spiegelungen an den Winkelhalbierenden im 1. und 2. Quadranten (Weißt Du, wie man die Matrizen dazu aufstellt?). Die Zweier-Permutationen aus [mm] S_{4} [/mm] (Austausch zweier Eckpunkte) sind natürlich nicht affin.
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mi 07.09.2005 | | Autor: | yvge |
Hallo Richard,
danke für Deine Hilfe. Bin mit der Aufgabe jetzt weiter gekommen.
Gruß Yvonne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 05.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
ganz schnell und ohne langes Nachdenken:
Affine Abb. ist doch erst lineare Abb. und dann Verschiebung. Dann hat man 6 freie Parameter, 4 in der Matrix und 2 vom Verschiebungsvektor. Wenn man aber 4 Punkten (in der Ebene) 4 Bildpunkte zuordnet, gibt das doch i. a. 8 Bedingungen, und das kriegt man nicht hin? Ändert sich da was, wenn es sich um die Permutation eines allgemeinen Vierecks handelt? Hoffentlich nicht.
In b) handelt es sich doch um eine Drehung um 90 Grad um den Ursprung, ist also affin.
Ich muß mir das selbst nochmal richtig verklaren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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