a^n+1 keine Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Zeige: Ist n keine Zweierpotenz, dann ist [mm] a^n+1>2 [/mm] keine Primzahl. |
Hi!
Irgendwie weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann. Ich wollte [mm] a^n+1 [/mm] erst einmal umschreiben als [mm] a^n+1=a^n-1+2=\frac{a^n-1}{a-1}*(a-1)+2=(a-1)(1+a+a^2+..+a^{n-1})+2, [/mm] aber irgendwie hat mir das auch nichts gebracht. Ich muss das sicher irgendwie umschreiben und zeigen, dass ich die Zahl faktorisieren kann, aber ich weiß leider nicht, wie ich einbauen kann, dass n keine Zweierpotenz ist.
Kann mir da jemand helfen?
Danke.
|
|
| |
|
Hallo Teufel,
das geht ganz ohne Zahlentheorie durch Polynomfaktorisierung.
Sei [mm] z=a^n+1. [/mm]
Ist n ungerade, so ist z durch (a+1) teilbar, was über Polynomdivision leicht zu zeigen ist.
Ist n gerade mit [mm] n=2^k*q, [/mm] q ungerade, so ist [mm] z=\left(a^{(2^k)}\right)^q+1 [/mm] durch [mm] \left(a^{(2^k)}+1\right) [/mm] teilbar (wie oben).
Damit kann n keinen ungeraden Faktor enthalten und ist eine Zweierpotenz.
Natürlich erzeugt man so nicht zuverlässig Primzahlen. Schau mal hier.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi, reverend!
Uff, das war ja wirklich gar nicht so schwierig, vielen Dank. Ich hab wohl noch kein Auge für so etwas. Aber so im Nachhinein leuchtet es sofort ein, a=-1 ist natürlich eine Nullstelle, falls n ungerade ist.
|
|
|
|
