alternierend harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mo 16.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Alternierende Harmonische Reihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}
[/mm]
a) Geben sie eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe an, die gegen 2 konvergiert.
b) Geben sie eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe an, die gegen [mm] +\infty [/mm] bestimmt divergent ist. |
Ich brauche dringend Hilfe hierbei.
Ich habe mit dem Leibnizkriterium gezeigt, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert und weiß aus der Vorlesung, dass die harmonische Reihe gegen [mm] +\infty [/mm] bestimmt divergiert.
Fragen:
1. Ist Aufgabe b nicht schon durch "Leibnizkriterium zeigt, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert" widerlegt?
2. Wie zeige ich allgemein wogegen Reihen konvergieren (als Ansatz für a)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Alternierende Harmonische Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
> a) Geben sie eine Umordnung der alternierenden
> harmonischen Reihe an, die gegen 2 konvergiert.
> b) Geben sie eine Umordnung der alternierenden
> harmonischen Reihe an, die gegen [mm]+\infty[/mm] bestimmt divergent
> ist.
> Ich brauche dringend Hilfe hierbei.
>
> Ich habe mit dem Leibnizkriterium gezeigt, dass die
> alternierende harmonische Reihe konvergiert und weiß aus
> der Vorlesung, dass die harmonische Reihe gegen [mm]+\infty[/mm]
> bestimmt divergiert.
>
> Fragen:
> 1. Ist Aufgabe b nicht schon durch "Leibnizkriterium
> zeigt, dass die alternierende harmonische Reihe
> konvergiert" widerlegt?
Nein. Dazu reicht das Leibnizkriterium nicht, sondern die Reihe müsste absolut konvergent sein.
Es ist sogar noch viel schlimmer: bei nicht absolut konvergenten Reihen kann man durch Umordnung einen beliebigen Grenzwert bekommen (![[]](/images/popup.gif) Riemannscher Umordnungssatz).
> 2. Wie zeige ich allgemein wogegen Reihen konvergieren (als
> Ansatz für a)
Im Allgemeinen ist das schwierig. Normalerweise versucht man, die Reihe auf ein bekanntes Beispiel (harmonische Reihe, geometrische Reihe) zurückzuführen. Manchmal klappt es, oft auch nicht. (Ein berühmtes Beispiel: die Grenzwerte der Reihen
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^4} [/mm]
sind bekannt, die von
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^3} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^5} [/mm]
nicht.)
Im vorliegenden Fall hilft der Beweis des Riemannschen Umordnungssatzes; der liefert ein Konstruktionsprinzip für solche Umordnungen mit vorgegebenem Grenzwert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 18.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
Hallo noch mals:
> Im vorliegenden Fall hilft der Beweis des Riemannschen
> Umordnungssatzes; der liefert ein Konstruktionsprinzip für
> solche Umordnungen mit vorgegebenem Grenzwert.
Wie komme ich denn auf das Konstruktionsprinzip? Ich habe mir die Definition mit Beweis angeschaut
http://mathepedia.de/Umordnung.aspx
(hatten den Beweis leider nicht in der Vorlesung), aber so richtig weiter komme ich damit nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Schau mal auf hier, da ist das Prinzip erklärt: Du addierst solange positive Glieder, bis die Summe größer als 2 ist, dann addierst du negative Glieder, bis sie kleiner als 2 ist, dann wieder positive, bis sie größer als 2 ist, usw. usw. Weil die einzelnen Glieder eine Nullfolge bilden, kommt am Ende 2 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 18.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | | Geben sie eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe an, die gegen [mm] +\infty [/mm] bestimmt divergent ist |
So: ich habe Teil a gelöst:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{1}{n}=\summe_{n=1}^{8}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2}+\summe_{n=9}^{21}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{4}+\summe_{n=22}^{35}\bruch{1}{2n-1} [/mm] usw.
8+13=21
21+14=35
35+13=48
48+14=62
u.s.w
Aber ich habe mit b) ein Problem
Mir ist nicht klar, wie ich eine unendlich große Summe produzieren kann und trotzdem alle Glieder unterkriege...
Also wie kann man das aufschreiben
Ich könnte den ersten teil [mm] (\summe_{i=1}^{n} [/mm] =1) -1/2 + [mm] (\summe_{i=n+1}^{k} [/mm] =2) -1/3 + [mm] (\summe_{n=k+1}^{l} [/mm] =3)-1/4
Ist das die Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 18.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du weisst dass die harm. Reihe divergiert, kannst du jeweils soviel Glieder zusammenfassen, dass du 10 oder 100 oder 100 erreichst, das kannst du unendlich oft dann ein ungerades negatives reinschieben Da die Reihe nie aufhört, kannst du alle negativen unterbringen. (Unendlich ist schon sehr unendlich!)
Gruss leduart
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