allgemeine Teilbarkeitsregel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Mo 09.04.2018 | | Autor: | helmut25 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe mich in letzter Zeit mit Zahlentheorie/Teilbarkeitsregeln befasst
und dabei folgende Formel "entdeckt":
10*a + b = x*n
a*(10-x) + b =x*n - x*a
..wobei x*n eine durch x teilbare Zahl darstellt.
Beispiel: ist 161 durch 7 teilbar?
(a=16, b=1, x=7)
160 +1 = 161
16*(10-7) +1 = 49 => durch 7 teilbar, also ist auch
161 durch 7 teilbar.
Das Interessante ist, das dies für ALLE Teiler/Zahlen > 1
funktioniert (auch wenn in der Zwischenrechnung negative Zahlen auftauchen!).
Bei grösseren Zahlen kann man die Formel auch rekursiv
anwenden.
Da ich diese oder eine ähnliche Formel nirgendwo in meinen schlauen Büchern
finden konnte, meine Frage:
Ist das jetzt eine triviale Erkenntnis
oder habe ich da etwas Neues entdeckt?
Gruss, Helmut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 09.04.2018 | | Autor: | chrisno |
Hallo, ich bleibe bei dem Beispiel
> ....
> Beispiel: ist 161 durch 7 teilbar?
> (a=16, b=1, x=7)
> 160 +1 = 161
> 16*(10-7) +1 = 49 => durch 7 teilbar, also ist auch
> 161 durch 7 teilbar.
>
16*(10-7) = 16*10 - 16*7
Es wird letztlich von 161 16 mal die 7 abgezogen.
Wenn eine Zahl gegeben ist, die durch sieben teilbar ist, und zu/von dieser 16 mal die sieben addiert/subtrahiert wird, dann ist das Ergebnis wieder durch sieben teilbar.
Wenn eine Zahl gegeben ist, die durch nicht sieben teilbar ist, und zu/von dieser 16 mal die sieben addiert/subtrahiert wird, dann ist das Ergebnis wieder nicht durch sieben teilbar.
Dies ist nicht neu.
> Das Interessante ist, das dies für ALLE Teiler/Zahlen > 1
> funktioniert (auch wenn in der Zwischenrechnung negative
> Zahlen auftauchen!).
> Bei grösseren Zahlen kann man die Formel auch rekursiv
> anwenden.
> Da ich diese oder eine ähnliche Formel nirgendwo in
> meinen schlauen Büchern
> finden konnte, meine Frage:
> Ist das jetzt eine triviale Erkenntnis
> oder habe ich da etwas Neues entdeckt?
Du hast eine Anwendung eines bekannten allgemeineren Satzes formuliert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 09.04.2018 | | Autor: | helmut25 |
Danke für die Antwort.
Trotz des *trivialen* Charakters der von mir gefundenen Regel finde ich selbige ziemlich praktisch, da man sie auf ALLE Teiler anwenden kann.
Damit erübrigen sich auch Spezialregeln für spezielle Teiler wie hier z.B.
für die 7:
http://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/natuerliche-zahlen/teilbarkeit/teilbarkeitsregeln/teilbarkeit-durch-7.html
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Man kann eine Vielzahl von ähnlichen Teilbarkeitsregeln aufstellten, die Frage ist nur, wie praktisch sie dann in der Anwendung sind.
Nehmen wir wieder die Teilbarkeit durch 7 und hierzu die Zahl
43694 = 7 * 6242
Dann ist a = 4369 und b = 4.
Nun müssen wir a(10-7)+b = 4369*3+4 = 13111 auf Teilbarkeit durch 7 untersuchen. Rekursiv gibt das
1311*3+1 = 3934
393*3+4 = 1183
118*3+3 = 357
35*3+7 = 112
11*3+2 = 35 = 5*7
In der Zeit hat man doch mit viel weniger Aufwand durch das übliche Divisionsverfahren die Teilbarkeit ermittelt und auch schon das Ergebnis vorliegen.
Was geschieht, wenn x> 10 ist? Sagen wir mal x = 29.
Betrachten wir dazu 16 * 29 = 464.
Dann gibt der Algorithmus
46(10-29)+4 = 46*(-19)+4 = -870, wobei wir nun auch +870 weiter untersuchen können, danach
87*(-19)+0 = -1653 usw, wobei die Zahl betragsmäßig immer größer wird.
Hier bietet sich an, statt 464=46*10+4 die Zerlegung 4*100+64 zu wählen, den Algorithmus also abzuändern, in
4*(100-29)+64 = 348
3*71+48 = 261
2*71+61 = 203
2*71+3=145
1*71+45=116
1*71+16=87 =3*29.
Fazit: Mathematisch korrekt, aber in der Praxis unbrauchbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 10.04.2018 | | Autor: | helmut25 |
Im Prinzip hast Du recht, Deine Aussage gilt dann aber auch (z.B.) für
diese Teilbarkeitsregel für die Zahl 7:
http://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/natuerliche-zahlen/teilbarkeit/teilbarkeitsregeln/teilbarkeit-durch-7.html
Händisch kann man das durch eine *normale* Division viel schneller lösen.
Aber immerhin funktioniert *mein* Algorithmus für ALLE Zahlen,
und das ist das Besondere.
Oder kennst Du einen Algorithmus, der für alle Zahlen funktioniert?
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Ja, natürlich.
Es ist der Euklidsche Algorithmus, also das, was wir unter schriftlicher Division verstehen.
Dein Algorithmus funktioniert für alle Zahlen.
Ich habe dir aber an den Beispielen gezeigt, dass er im Normalfall, z.B. bei Division durch 29, gar nicht zielführend ist, weil die nächsten Zahlen immer größer werden (ab x>20) und das Problem damit nicht einfacher, sondern komplizierter wird, und man den Algorithmus deshalb abändern müsste/sollte, indem man die 10 durch die nächsthöhere Zehnerpotenz, hier 100, ersetzt, wobei die Kette dann trotzdem sehr lang wird.
Die Algorithmen zum schnellen(!) Erkennen der Teilbarkeit sind die Endziffern- und Quersummenregeln (und Kombinationen davon, z.B. bei Teilbarkeit durch 6). Außer diesen benutze ich evt. noch die "alternierende Quersummenregel" für 11. Bei 7 und allen anderen Divisionen, die nicht durch die Endziffern/Quersummenregeln entschieden werden können, dividiere ich immer schriftlich durch, weil alles andere viel aufwändiger ist.
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